Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{a x + b}{c x + d}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{a x + b}{c x + d} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{a x + b}{c x + d} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{a x + b}{c x + d} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = c x + d$ . Тогда $d u = c d x$ , следовательно $\frac{1}{c} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = c x + d$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $c x + d$ .

$\frac{d}{d x} [c x + d]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $c x + d$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ .

$\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Этап 2.3.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [c x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.1

Поскольку $c$ является константой относительно $x$ , производная $c x$ по $x$ равна $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d]$

Этап 2.3.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d]$

Этап 2.3.1.1.3.3

Умножим $c$ на $1$ .

$c + \frac{d}{d x} [d]$

Этап 2.3.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.1

Поскольку $d$ является константой относительно $x$ , производная $d$ относительно $x$ равна $0$ .

$c + 0$

Этап 2.3.1.1.4.2

Добавим $c$ и $0$ .

$c$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u} \cdot \frac{1}{c} d u$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u}$ на $\frac{1}{c}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u c} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{c}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{c}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u} d u$

Этап 2.3.4

Разделим дробь на несколько дробей.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{u} + \frac{b}{u} d u$

Этап 2.3.5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Этап 2.3.6

Поскольку $a$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $a$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Умножим $\frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u}$ на $\frac{c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c}{c} \cdot \frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Этап 2.3.7.2

Объединим.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Этап 2.3.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c \frac{u}{c} + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Этап 2.3.7.4

Сократим общий множитель $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.4.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c \frac{u}{c} + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Этап 2.3.7.4.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Этап 2.3.7.5

Объединим $c$ и $\frac{d}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - \frac{c d}{c}}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Этап 2.3.7.6

Сократим общий множитель $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.6.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - \frac{c d}{c}}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Этап 2.3.7.6.2

Разделим $d$ на $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - d}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Этап 2.3.8

Поскольку $\frac{1}{c}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{c}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} \int \frac{u - d}{u} d u) + \int \frac{b}{u} d u)$

Этап 2.3.9

Разделим дробь на несколько дробей.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} \int \frac{u}{u} + \frac{- d}{u} d u) + \int \frac{b}{u} d u)$

Этап 2.3.10

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Этап 2.3.11

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Этап 2.3.11.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Этап 2.3.12

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Этап 2.3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} + \int - \frac{d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Этап 2.3.14

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - \int \frac{d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Этап 2.3.15

Поскольку $d$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $d$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - (d \int \frac{1}{u} d u))) + \int \frac{b}{u} d u)$

Этап 2.3.16

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - (d (\ln (| u |) + C_{3})))) + \int \frac{b}{u} d u)$

Этап 2.3.17

Объединим $\frac{1}{c}$ и $a$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + \int \frac{b}{u} d u)$

Этап 2.3.18

Поскольку $b$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $b$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + b \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 2.3.19

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + b (\ln (| u |) + C_{4}))$

Этап 2.3.20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.20.1

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a (u - d \ln (| u |))}{c} + b \ln (| u |)) + C_{5}$

Этап 2.3.20.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.20.2.1

Чтобы записать $b \ln (| u |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a (u - d \ln (| u |))}{c} + \frac{b \ln (| u |) c}{c}) + C_{5}$

Этап 2.3.20.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \cdot \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c} + C_{5}$

Этап 2.3.20.2.3

Умножим $\frac{1}{c}$ на $\frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c \cdot c} + C_{5}$

Этап 2.3.20.2.4

Возведем $c$ в степень $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1} c} + C_{5}$

Этап 2.3.20.2.5

Возведем $c$ в степень $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1} c^{1}} + C_{5}$

Этап 2.3.20.2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1 + 1}} + C_{5}$

Этап 2.3.20.2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{2}} + C_{5}$

Этап 2.3.21

Заменим все вхождения $u$ на $c x + d$ .

$y + C_{1} = \frac{a (c x + d - d \ln (| c x + d |)) + b \ln (| c x + d |) c}{c^{2}} + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = \frac{a (c x + d - d \ln (| c x + d |)) + b \ln (| c x + d |) c}{c^{2}} + C$