Математический анализ Примеры

$x d x + \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $x d x$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = - x d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$1 d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 d y = - \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} x d x$

Этап 3.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = a$ и $b = x$ .

$1 d y = - \frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

Этап 3.4

Умножим $\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ на $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ .

$1 d y = - (\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}) x d x$

Этап 3.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ на $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)} \sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

Этап 3.5.2

Возведем $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ в степень $1$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1} \sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

Этап 3.5.3

Возведем $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ в степень $1$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1} {\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1}} x d x$

Этап 3.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1 + 1}} x d x$

Этап 3.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{2}} x d x$

Этап 3.5.6

Перепишем ${\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{2}$ в виде $(a + x) (a - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ в виде ${((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{({((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} x d x$

Этап 3.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} x d x$

Этап 3.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{2}{2}}} x d x$

Этап 3.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{2}{2}}} x d x$

Этап 3.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{1}} x d x$

Этап 3.5.6.5

Упростим.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} x d x$

Этап 3.6

Объединим $x$ и $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)}$ .

$1 d y = - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Этап 4.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Этап 4.3.2

Пусть $u = (a + x) (a - x)$ . Тогда $d u = - 2 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Пусть $u = (a + x) (a - x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Дифференцируем $(a + x) (a - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(a + x) (a - x)]$

Этап 4.3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = a + x$ и $g (x) = a - x$ .

$(a + x) \frac{d}{d x} [a - x] + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Этап 4.3.2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

По правилу суммы производная $a - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(a + x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Этап 4.3.2.1.3.2

Поскольку $a$ является константой относительно $x$ , производная $a$ относительно $x$ равна $0$ .

$(a + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Этап 4.3.2.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(a + x) \frac{d}{d x} [- x] + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Этап 4.3.2.1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(a + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Этап 4.3.2.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(a + x) (- 1 \cdot 1) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Этап 4.3.2.1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(a + x) \cdot - 1 + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Этап 4.3.2.1.3.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $a + x$ .

$- 1 \cdot (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Этап 4.3.2.1.3.6.3

Перепишем $- 1 (a + x)$ в виде $- (a + x)$ .

$- (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Этап 4.3.2.1.3.7

По правилу суммы производная $a + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (a + x) + (a - x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3.2.1.3.8

Поскольку $a$ является константой относительно $x$ , производная $a$ относительно $x$ равна $0$ .

$- (a + x) + (a - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3.2.1.3.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.2.1.3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (a + x) + (a - x) \cdot 1$

Этап 4.3.2.1.3.11

Умножим $a - x$ на $1$ .

$- (a + x) + a - x$

Этап 4.3.2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- a - x + a - x$

Этап 4.3.2.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.2.1

Добавим $- a$ и $a$ .

$- x + 0 - x$

Этап 4.3.2.1.4.2.2

Добавим $- x$ и $0$ .

$- x - x$

Этап 4.3.2.1.4.2.3

Вычтем $x$ из $- x$ .

$- 2 x$

Этап 4.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Этап 4.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 4.3.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{u}}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - \int - \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

Этап 4.3.3.3

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$y + C_{1} = - \int - \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Этап 4.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - - \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Этап 4.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Этап 4.3.5.2

Умножим $\int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$ на $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Этап 4.3.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Этап 4.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Этап 4.3.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.2.1

Перенесем $u^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Этап 4.3.7.2.2

Умножим $u$ на $u^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.2.2.1

Умножим $u$ на $u^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.2.2.1.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Этап 4.3.7.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Этап 4.3.7.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Этап 4.3.7.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Этап 4.3.7.2.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 4.3.7.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.3.1

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 4.3.7.3.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 4.3.7.3.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 4.3.7.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 4.3.8

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Этап 4.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.9.1

Перепишем $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ в виде $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 4.3.9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.9.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 4.3.9.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.9.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 4.3.9.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 4.3.9.2.3

Умножим $u^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 4.3.10

Заменим все вхождения $u$ на $(a + x) (a - x)$ .

$y + C_{1} = {((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = {((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}} + K$