Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = a (b - y)$

Этап 1

Пусть $v = b - y$ . Подставим $v$ вместо $b - y$ для всех.

$\frac{d y}{d x} = a v$

Этап 2

Найдем $\frac{d v}{d x}$ , дифференцируя $b - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $b - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.2

Поскольку $b$ является константой относительно $x$ , производная $b$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{d v}{d x} = 0 + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = 0 - \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 0 - y'$

Этап 2.4

Вычтем $y'$ из $0$ .

$\frac{d v}{d x} = - y'$

Этап 3

Подставим производную обратно в дифференциальное уравнение.

$- \frac{d v}{d x} = a v$

Этап 4

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим обе части на $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (a v)$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $v$ из $a v$ .

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (v a)$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (v a)$

Этап 4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = a$

Этап 4.3

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{1}{v} \cdot - 1 \frac{d v}{d x} = a$

Этап 4.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{v} \cdot - 1 d v = a d x$

Этап 5

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{v} \cdot - 1 d v = \int a d x$

Этап 5.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Объединим $\frac{1}{v}$ и $- 1$ .

$\int \frac{- 1}{v} d v = \int a d x$

Этап 5.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{1}{v} d v = \int a d x$

Этап 5.2.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $v$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{v} d v = \int a d x$

Этап 5.2.3

Интеграл $\frac{1}{v}$ по $v$ имеет вид $\ln (| v |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) = \int a d x$

Этап 5.2.4

Упростим.

$- \ln (| v |) + C_{1} = \int a d x$

Этап 5.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \ln (| v |) + C_{1} = a x + C_{2}$

Этап 5.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| v |) = a x + C$

Этап 6

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $- \ln (| v |) = a x + C$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Разделим каждый член $- \ln (| v |) = a x + C$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (| v |)}{- 1} = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 6.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (| v |)}{1} = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 6.1.2.2

Разделим $\ln (| v |)$ на $1$ .

$\ln (| v |) = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 6.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{a x}{- 1}$ .

$\ln (| v |) = - 1 \cdot (a x) + \frac{C}{- 1}$

Этап 6.1.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (a x)$ в виде $- (a x)$ .

$\ln (| v |) = - (a x) + \frac{C}{- 1}$

Этап 6.1.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| v |) = - a x - 1 \cdot C$

Этап 6.1.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (| v |) = - a x - C$

Этап 6.2

Чтобы решить относительно $v$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| v |)} = e^{- a x - C}$

Этап 6.3

Перепишем $\ln (| v |) = - a x - C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- a x - C} = | v |$

Этап 6.4

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перепишем уравнение в виде $| v | = e^{- a x - C}$ .

$| v | = e^{- a x - C}$

Этап 6.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{- a x - C}$

Этап 7

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим постоянную интегрирования.

$v = \pm e^{- a x + C}$

Этап 7.2

Перепишем $e^{- a x + C}$ в виде $e^{- a x} e^{C}$ .

$v = \pm e^{- a x} e^{C}$

Этап 7.3

Изменим порядок $e^{- a x}$ и $e^{C}$ .

$v = \pm e^{C} e^{- a x}$

Этап 7.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$v = C e^{- a x}$

Этап 8

Заменим все вхождения $v$ на $b - y$ .

$b - y = C e^{- a x}$

Этап 9

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычтем $b$ из обеих частей уравнения.

$- y = C e^{- a x} - b$

Этап 9.2

Разделим каждый член $- y = C e^{- a x} - b$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим каждый член $- y = C e^{- a x} - b$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

Этап 9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

Этап 9.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

Этап 9.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C e^{- a x}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (C e^{- a x}) + \frac{- b}{- 1}$

Этап 9.2.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (C e^{- a x})$ в виде $- (C e^{- a x})$ .

$y = - (C e^{- a x}) + \frac{- b}{- 1}$

Этап 9.2.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = - C e^{- a x} + \frac{b}{1}$

Этап 9.2.3.1.4

Разделим $b$ на $1$ .

$y = - C e^{- a x} + b$

Этап 10

Упростим постоянную интегрирования.

$y = C e^{- a x} + b$