Математический анализ Примеры

$x d x + y e^{- x} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $x d x$ из обеих частей уравнения.

$y e^{- x} d y = - x d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{- x}}$ .

$\frac{1}{e^{- x}} (y e^{- x}) d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $y e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x}} (e^{- x} y) d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{- x}} (e^{- x} y) d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$y d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y d y = - \frac{1}{e^{- x}} x d x$

Этап 3.3

Объединим $x$ и $\frac{1}{e^{- x}}$ .

$y d y = - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Этап 4.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x}{e^{- x}} d x$

Этап 4.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Поменяем знак экспоненты $e^{- x}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x {(e^{- x})}^{- 1} d x$

Этап 4.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{- x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{- x \cdot - 1} d x$

Этап 4.3.2.2.2

Умножим $- x \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{1 x} d x$

Этап 4.3.2.2.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{x} d x$

Этап 4.3.3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Этап 4.3.4

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x e^{x} - (e^{x} + C_{2}))$

Этап 4.3.5

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x e^{x} - e^{x}) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - (x e^{x} - e^{x}) + K$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Этап 5.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Этап 5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 (- (x e^{x}) - - e^{x} + K)$

Этап 5.2.2.1.1.2

Умножим $- - e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y^{2} = 2 (- x e^{x} + 1 e^{x} + K)$

Этап 5.2.2.1.1.2.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$y^{2} = 2 (- x e^{x} + e^{x} + K)$

Этап 5.2.2.1.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 (- x e^{x}) + 2 e^{x} + 2 K$

Этап 5.2.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y^{2} = - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 K$

Этап 5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 K}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x e^{x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x}) + 2 e^{x} + 2 K}$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2 e^{x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x}) + 2 (e^{x}) + 2 K}$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x}) + 2 (e^{x}) + 2 K}$

Этап 5.4.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x e^{x}) + 2 (e^{x})$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x}) + 2 K}$

Этап 5.4.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x e^{x} + e^{x}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

Этап 5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

Этап 5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

Этап 5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$