Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{3} + 12 x^{2} - 20 x + 8.5$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (2 x^{3} + 12 x^{2} - 20 x + 8.5) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 2 x^{3} + 12 x^{2} - 20 x + 8.5 d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 2 x^{3} + 12 x^{2} - 20 x + 8.5 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 2 x^{3} d x + \int 12 x^{2} d x + \int - 20 x d x + \int 8.5 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 2 \int x^{3} d x + \int 12 x^{2} d x + \int - 20 x d x + \int 8.5 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int 12 x^{2} d x + \int - 20 x d x + \int 8.5 d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + 12 \int x^{2} d x + \int - 20 x d x + \int 8.5 d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int - 20 x d x + \int 8.5 d x$

Этап 2.3.6

Поскольку $- 20$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 20$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 20 \int x d x + \int 8.5 d x$

Этап 2.3.7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 8.5 d x$

Этап 2.3.8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8.5 x + C_{5}$

Этап 2.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8.5 x + C_{5}$

Этап 2.3.9.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8.5 x + C_{5}$

Этап 2.3.9.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 8.5 x + C_{5}$

Этап 2.3.9.2

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{x^{4}}{2} + 4 x^{3} - 10 x^{2} + 8.5 x + C_{6}$

Этап 2.3.9.3

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{4} + 4 x^{3} - 10 x^{2} + 8.5 x + C_{6}$

Этап 2.3.10

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = 4 x^{3} - 10 x^{2} + \frac{1}{2} x^{4} + 8.5 x + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 4 x^{3} - 10 x^{2} + \frac{1}{2} x^{4} + 8.5 x + K$