Математический анализ Примеры

$(x e^{y} + y - x^{2}) d y = (2 x y - e^{y} - x) d x$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $(2 x y - e^{y} - x) d x$ из обеих частей уравнения.

$(x e^{y} + y - x^{2}) d y - (2 x y - e^{y} - x) d x = 0$

Этап 1.2

Перепишем.

$- (2 x y - e^{y} - x) d x + (x e^{y} + y - x^{2}) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = - (2 x y - e^{y} - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (2 x y - e^{y} - x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- (2 x y - e^{y} - x)$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [2 x y - e^{y} - x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [2 x y - e^{y} - x]$

Этап 2.2.2

По правилу суммы производная $2 x y - e^{y} - x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Этап 2.2.3

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x y$ по $y$ равна $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Этап 2.2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Этап 2.2.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- e^{y}$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ имеет вид $a^{y} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y} + \frac{d}{d y} [- x])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- x$ является константой относительно $y$ , производная $- x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y} + 0)$

Этап 2.4.2

Добавим $2 x - e^{y}$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y})$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x) - - e^{y}$

Этап 2.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x - - e^{y}$

Этап 2.5.2.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 1 e^{y}$

Этап 2.5.2.3

Умножим $e^{y}$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + e^{y}$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x e^{y} + y - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{y} + y - x^{2}]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x e^{y} + y - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $e^{y}$ является константой относительно $x$ , производная $x e^{y}$ по $x$ равна $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 3.3.3

Умножим $e^{y}$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 3.4

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - (2 x)$

Этап 3.5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - 2 x$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $e^{y}$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} - 2 x$

Этап 3.6.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x + e^{y}$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 2 x + e^{y}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 2 x + e^{y}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x + e^{y} = - 2 x + e^{y}$

Этап 4.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$- 2 x + e^{y} = - 2 x + e^{y}$ является тождеством.

Этап 5

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{y} + y - x^{2} d y$

Этап 6

Проинтегрируем $N (x, y) = x e^{y} + y - x^{2}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int x e^{y} d y + \int y d y + \int - x^{2} d y$

Этап 6.2

Поскольку $x$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $x$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x \int e^{y} d y + \int y d y + \int - x^{2} d y$

Этап 6.3

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \int y d y + \int - x^{2} d y$

Этап 6.4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x^{2} d y$

Этап 6.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C - x^{2} y + C$

Этап 6.6

Упростим.

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + C$

Этап 7

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$

Этап 8

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Этап 9

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Этап 9.2

По правилу суммы производная $x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Этап 9.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Поскольку $e^{y}$ является константой относительно $x$ , производная $x e^{y}$ по $x$ равна $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Этап 9.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Этап 9.3.3

Умножим $e^{y}$ на $1$ .

$e^{y} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Этап 9.4

Поскольку $\frac{1}{2} y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{y} + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Этап 9.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2} y$ по $x$ равна $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{y} + 0 - y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Этап 9.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{y} + 0 - y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Этап 9.5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{y} + 0 - 2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Этап 9.6

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{y} + 0 - 2 y x + \frac{d g}{d x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Этап 9.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Добавим $e^{y}$ и $0$ .

$e^{y} - 2 y x + \frac{d g}{d x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Этап 9.7.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Этап 10

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Упростим $- (2 x y - e^{y} - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.1

Перепишем.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = 0 + 0 - (2 x y - e^{y} - x)$

Этап 10.1.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Этап 10.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y) - - e^{y} - - x$

Этап 10.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) - - e^{y} - - x$

Этап 10.1.1.4.2

Умножим $- - e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + 1 e^{y} - - x$

Этап 10.1.1.4.2.2

Умножим $e^{y}$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} - - x$

Этап 10.1.1.4.3

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} + 1 x$

Этап 10.1.1.4.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} + x$

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 x y + e^{y} + x$

Этап 10.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

Добавим $2 x y$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} + e^{y} = - 2 x y + e^{y} + x + 2 x y$

Этап 10.1.2.2

Вычтем $e^{y}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + e^{y} + x + 2 x y - e^{y}$

Этап 10.1.2.3

Объединим противоположные члены в $- 2 x y + e^{y} + x + 2 x y - e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.3.1

Добавим $- 2 x y$ и $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{y} + x + 0 - e^{y}$

Этап 10.1.2.3.2

Добавим $e^{y} + x$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{y} + x - e^{y}$

Этап 10.1.2.3.3

Вычтем $e^{y}$ из $e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Этап 10.1.2.3.4

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Этап 11

Найдем первообразную $x$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Этап 11.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Этап 11.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 12

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{y^{2}}{2} - x^{2} y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 13.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{y^{2}}{2} - x^{2} y + \frac{x^{2}}{2} + C$