Математический анализ Примеры

$m x d y = n y d x$

Этап 1

Умножим обе части на $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (m x) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} (m x) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $m x$ .

$\frac{1}{x (y)} (x m) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Этап 2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x y} (x m) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Этап 2.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} m d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Этап 2.2

Объединим $\frac{1}{y}$ и $m$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (n y) d x$

Этап 2.3.2

Вынесем множитель $y$ из $n y$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (y n) d x$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (y n) d x$

Этап 2.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{x} n d x$

Этап 2.4

Объединим $\frac{1}{x}$ и $n$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{n}{x} d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{m}{y} d y = \int \frac{n}{x} d x$

Этап 3.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $m$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $m$ из-под знака интеграла.

$m \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{n}{x} d x$

Этап 3.2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$m (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{n}{x} d x$

Этап 3.2.3

Упростим.

$m \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{n}{x} d x$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $n$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $n$ из-под знака интеграла.

$m \ln (| y |) + C_{1} = n \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$m \ln (| y |) + C_{1} = n (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 3.3.3

Упростим.

$m \ln (| y |) + C_{1} = n \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$m \ln (| y |) = n \ln (| x |) + C$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$m \ln (| y |) - n \ln (| x |) = C$

Этап 4.2

Добавим $n \ln (| x |)$ к обеим частям уравнения.

$m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$

Этап 4.3

Разделим каждый член $m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$ на $\ln (| y |)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим каждый член $m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$ на $\ln (| y |)$ .

$\frac{m \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $\ln (| y |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{m \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

Этап 4.3.2.1.2

Разделим $m$ на $1$ .

$m = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

Этап 4.4

Перепишем уравнение в виде $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ .

$\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$

Этап 4.5

Каждый член в $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ умножим на $\ln (| y |)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим каждый член $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ на $\ln (| y |)$ .

$\frac{C}{\ln (| y |)} \ln (| y |) + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} \ln (| y |) = m \ln (| y |)$

Этап 4.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Объединим $\frac{C}{\ln (| y |)}$ и $\ln (| y |)$ .

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} \ln (| y |) = m \ln (| y |)$

Этап 4.5.2.1.2

Объединим $\frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$ и $\ln (| y |)$ .

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = m \ln (| y |)$

Этап 4.6

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Этап 4.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Сократим общий множитель $\ln (| y |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Этап 4.7.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Этап 4.7.2

Сократим общий множитель $\ln (| y |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Сократим общий множитель.

$C + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Этап 4.7.2.2

Разделим $n \ln (| x |)$ на $1$ .

$C + n \ln (| x |) - m \ln (| y |) = 0$

Этап 4.8

Перенесем все члены без $\ln (| y |)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$n \ln (| x |) - m \ln (| y |) = - C$

Этап 4.8.2

Вычтем $n \ln (| x |)$ из обеих частей уравнения.

$- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$

Этап 4.9

Разделим каждый член $- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$ на $- m$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Разделим каждый член $- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$ на $- m$ .

$\frac{- m \ln (| y |)}{- m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Этап 4.9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{m \ln (| y |)}{m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Этап 4.9.2.2

Сократим общий множитель $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{m \ln (| y |)}{m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Этап 4.9.2.2.2

Разделим $\ln (| y |)$ на $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Этап 4.9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Этап 4.9.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}$

Этап 4.10

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$

Этап 4.11

Перепишем $\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}} = | y |$

Этап 4.12

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$ .

$| y | = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$

Этап 4.12.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$