Математический анализ Примеры

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 9 \frac{d y}{d x} = 0$

Этап 1

Пусть $v = \frac{d y}{d x}$ . Тогда $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Подставим $v$ вместо $\frac{d y}{d x}$ и $\frac{d v}{d x}$ вместо $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ , чтобы получить дифференциальное уравнение с зависимой переменной $v$ и независимой переменной $x$ .

$\frac{d v}{d x} - 9 v = 0$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 9 d x}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- 9 x + C_{1}}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 9 x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- 9 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{- 9 x}$ .

$e^{- 9 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 9 x} (- 9 v) = e^{- 9 x} \cdot 0$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- 9 x} \frac{d v}{d x} - 9 e^{- 9 x} v = e^{- 9 x} \cdot 0$

Этап 3.3

Умножим $e^{- 9 x}$ на $0$ .

$e^{- 9 x} \frac{d v}{d x} - 9 e^{- 9 x} v = 0$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в $e^{- 9 x} \frac{d v}{d x} - 9 e^{- 9 x} v = 0$ .

$e^{- 9 x} \frac{d v}{d x} - 9 v e^{- 9 x} = 0$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- 9 x} v] = 0$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 9 x} v] d x = \int 0 d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- 9 x} v = \int 0 d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Интеграл $0$ по $x$ имеет вид $0$ .

$e^{- 9 x} v = 0 + C_{2}$

Этап 7.2

Добавим $0$ и $C_{2}$ .

$e^{- 9 x} v = C_{2}$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{- 9 x} v = C_{2}$ на $e^{- 9 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{- 9 x} v = C_{2}$ на $e^{- 9 x}$ .

$\frac{e^{- 9 x} v}{e^{- 9 x}} = \frac{C_{2}}{e^{- 9 x}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{- 9 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- 9 x} v}{e^{- 9 x}} = \frac{C_{2}}{e^{- 9 x}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{C_{2}}{e^{- 9 x}}$

Этап 9

Заменим все вхождения $v$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{2}}{e^{- 9 x}}$

Этап 10

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{C_{2}}{e^{- 9 x}} d x$

Этап 11

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{C_{2}}{e^{- 9 x}} d x$

Этап 11.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{3} = \int \frac{C_{2}}{e^{- 9 x}} d x$

Этап 11.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $C_{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $C_{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{3} = C_{2} \int \frac{1}{e^{- 9 x}} d x$

Этап 11.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Поменяем знак экспоненты $e^{- 9 x}$ и вынесем ее из знаменателя.

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 {(e^{- 9 x})}^{- 1} d x$

Этап 11.3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{- 9 x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{- 9 x \cdot - 1} d x$

Этап 11.3.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{9 x} d x$

Этап 11.3.2.2.2

Умножим $e^{9 x}$ на $1$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{9 x} d x$

Этап 11.3.3

Пусть $u = 9 x$ . Тогда $d u = 9 d x$ , следовательно $\frac{1}{9} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1

Пусть $u = 9 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1.1

Дифференцируем $9 x$ .

$\frac{d}{d x} [9 x]$

Этап 11.3.3.1.2

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 11.3.3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 \cdot 1$

Этап 11.3.3.1.4

Умножим $9$ на $1$ .

$9$

Этап 11.3.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{u} \frac{1}{9} d u$

Этап 11.3.4

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{9}$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int \frac{e^{u}}{9} d u$

Этап 11.3.5

Поскольку $\frac{1}{9}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{9}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{3} = C_{2} (\frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

Этап 11.3.6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y + C_{3} = C_{2} \frac{1}{9} (e^{u} + C_{4})$

Этап 11.3.7

Упростим.

$y + C_{3} = \frac{C_{2}}{9} e^{u} + C_{5}$

Этап 11.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $9 x$ .

$y + C_{3} = \frac{C_{2}}{9} e^{9 x} + C_{5}$

Этап 11.3.9

Изменим порядок членов.

$y + C_{3} = \frac{1}{9} C_{2} e^{9 x} + C_{5}$

Этап 11.3.10

Изменим порядок членов.

$y + C_{3} = \frac{1}{9} e^{9 x} C_{2} + C_{5}$

Этап 11.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $D$ .

$y = \frac{1}{9} e^{9 x} C + D$