Математический анализ Примеры

$y^{3} \frac{d y}{d x} = (y^{4} + 1) \cos (x)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{4} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{4} + 1} (y^{3} \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4} + 1} ((y^{4} + 1) \cos (x))$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{4} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y^{4} + 1$ из $(y^{4} + 1) \cos (x)$ .

$\frac{1}{y^{4} + 1} (y^{3} \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4} + 1} ((y^{4} + 1) (\cos (x)))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{4} + 1} (y^{3} \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4} + 1} ((y^{4} + 1) \cos (x))$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{4} + 1} (y^{3} \frac{d y}{d x}) = \cos (x)$

Этап 1.3

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{1}{y^{4} + 1} y^{3} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{4} + 1} y^{3} d y = \cos (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{4} + 1} y^{3} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{y^{4} + 1}$ и $y^{3}$ .

$\int \frac{y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $y^{4}$ в виде ${(y^{4})}^{1}$ .

$\int \frac{y^{3}}{{(y^{4})}^{1} + 1} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.2

Пусть $u_{1} = y^{4}$ . Тогда $d u_{1} = 4 y^{3} d y$ , следовательно $\frac{1}{4} d u_{1} = y^{3} d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Пусть $u_{1} = y^{4}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Дифференцируем $y^{4}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{4}]$

Этап 2.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 y^{3}$

Этап 2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим.

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.3.2

Умножим $\frac{1}{u_{1} + 1}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.3.3

Перенесем $4$ влево от $u_{1} + 1$ .

$\int \frac{1}{4 (u_{1} + 1)} d u_{1} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.5

Пусть $u_{2} = u_{1} + 1$ . Тогда $d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Пусть $u_{2} = u_{1} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Дифференцируем $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Этап 2.2.5.1.2

По правилу суммы производная $u_{1} + 1$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 2.2.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 2.2.5.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $1$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.6

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.7

Упростим.

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.8

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $u_{1} + 1$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u_{1} + 1 |) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.8.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y^{4}$ .

$\frac{1}{4} \ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.3

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{4} \ln (| y^{4} + 1 |) = \sin (x) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 (\frac{1}{4} \ln (| y^{4} + 1 |)) = 4 (\sin (x) + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $4 (\frac{1}{4} \ln (| y^{4} + 1 |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\ln (| y^{4} + 1 |)$ .

$4 \frac{\ln (| y^{4} + 1 |)}{4} = 4 (\sin (x) + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{\ln (| y^{4} + 1 |)}{4} = 4 (\sin (x) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| y^{4} + 1 |) = 4 (\sin (x) + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y^{4} + 1 |) = 4 \sin (x) + 4 C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y^{4} + 1 |)} = e^{4 \sin (x) + 4 C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (| y^{4} + 1 |) = 4 \sin (x) + 4 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{4 \sin (x) + 4 C} = | y^{4} + 1 |$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $| y^{4} + 1 | = e^{4 \sin (x) + 4 C}$ .

$| y^{4} + 1 | = e^{4 \sin (x) + 4 C}$

Этап 3.5.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y^{4} + 1 = \pm e^{4 \sin (x) + 4 C}$

Этап 3.5.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y^{4} = \pm e^{4 \sin (x) + 4 C} - 1$

Этап 3.5.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm e^{4 \sin (x) + 4 C} - 1}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm e^{4 \sin (x) + C} - 1}$

Этап 4.2

Перепишем $e^{4 \sin (x) + C}$ в виде $e^{4 \sin (x)} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\pm e^{4 \sin (x)} e^{C} - 1}$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{4 \sin (x)}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\pm e^{C} e^{4 \sin (x)} - 1}$

Этап 4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \pm \sqrt[4]{C e^{4 \sin (x)} - 1}$