Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$

Этап 1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$ на $x \sin^{2} (\frac{y}{x})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$ на $x \sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Этап 1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Этап 1.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3.1.3

Перепишем $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (\frac{y}{x})}$ в виде ${(\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})})}^{2} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3.1.4

Переведем $\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})}$ в $\csc (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3.1.5

Сократим общий множитель $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (V) + V$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \csc^{2} (V) + V$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V) + V - V$

Этап 6.1.1.1.2

Объединим противоположные члены в $\csc^{2} (V) + V - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.2.1

Вычтем $V$ из $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V) + 0$

Этап 6.1.1.1.2.2

Добавим $\csc^{2} (V)$ и $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$

Этап 6.1.1.2

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

Этап 6.1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

Этап 6.1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

Этап 6.1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{\csc^{2} (V)}$ .

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\csc^{2} (V)} \cdot \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

Этап 6.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Объединим.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \csc^{2} (V)}{\csc^{2} (V) x}$

Этап 6.1.3.2

Сократим общий множитель $\csc^{2} (V)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \csc^{2} (V)}{\csc^{2} (V) x}$

Этап 6.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 6.1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\csc^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\csc^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.1.2

Перепишем $\frac{1^{2}}{\csc^{2} (V)}$ в виде ${(\frac{1}{\csc (V)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\csc (V)})}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.1.3

Выразим $\csc (V)$ через синусы и косинусы.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\sin (V)}})}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.1.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (V)}$ .

$\int {(1 \sin (V))}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.1.5

Умножим $\sin (V)$ на $1$ .

$\int \sin^{2} (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

Используем формулу половинного угла для записи $\sin^{2} (V)$ в виде $\frac{1 - \cos (2 V)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 V)}{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $V$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int d V + \int - \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} + \int - \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $V$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.7

Пусть $u = 2 V$ . Тогда $d u = 2 d V$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d V$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.7.1

Пусть $u = 2 V$ . Найдем $\frac{d u}{d V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.7.1.1

Дифференцируем $2 V$ .

$\frac{d}{d V} [2 V]$

Этап 6.2.2.7.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $V$ , производная $2 V$ по $V$ равна $2 \frac{d}{d V} [V]$ .

$2 \frac{d}{d V} [V]$

Этап 6.2.2.7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ имеет вид $n V^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 6.2.2.7.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 6.2.2.7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.8

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.9

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.10

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.11

Упростим.

$\frac{1}{2} (V - \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.12

Заменим все вхождения $u$ на $2 V$ .

$\frac{1}{2} (V - \frac{1}{2} \sin (2 V)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.13.1

Объединим $\sin (2 V)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (V - \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} V + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.13.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $V$ .

$\frac{V}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.13.4

Умножим $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.13.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sin (2 V)}{2}$ .

$\frac{V}{2} - \frac{\sin (2 V)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.13.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{V}{2} - \frac{\sin (2 V)}{4} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.14

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) = \ln (| x |) + C$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - \frac{1}{4} \sin (2 \frac{y}{x}) = \ln (| x |) + C$

Этап 8

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{2 x} - \frac{1}{4} \sin (2 \frac{y}{x}) = \ln (| x |) + C$

Этап 8.1.2

Объединим $2$ и $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{2 x} - \frac{1}{4} \sin (\frac{2 y}{x}) = \ln (| x |) + C$

Этап 8.1.3

Объединим $\sin (\frac{2 y}{x})$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{y}{2 x} - \frac{\sin (\frac{2 y}{x})}{4} = \ln (| x |) + C$