Математический анализ Примеры

$2 x^{2} (y d) x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y]$

Этап 1.2

Поскольку $2 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $2 x^{2} y$ по $y$ равна $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \cdot 1$

Этап 1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2}$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 3 x^{3} + y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{3} + y^{3}]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $3 x^{3} + y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $y^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $9 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2}$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 x^{2}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $9 x^{2}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x^{2} = 9 x^{2}$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$2 x^{2} = 9 x^{2}$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $9 x^{2}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{9 x^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $2 x^{2}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{9 x^{2} - (2 x^{2})}{M}$

Этап 4.3

Подставим $2 x^{2} y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $2 x^{2} y$ вместо $M$ .

$\frac{9 x^{2} - (2 x^{2})}{2 x^{2} y}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $9 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $9 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 9 - 1 \cdot 2 x^{2}}{2 x^{2} y}$

Этап 4.3.2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 1 \cdot 2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 9 + x^{2} (- 1 \cdot 2)}{2 x^{2} y}$

Этап 4.3.2.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} \cdot 9 + x^{2} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x^{2} (9 - 1 \cdot 2)}{2 x^{2} y}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x^{2} (9 - 2)}{2 x^{2} y}$

Этап 4.3.2.3

Вычтем $2$ из $9$ .

$\frac{x^{2} \cdot 7}{2 x^{2} y}$

Этап 4.3.3

Подставим $2 x^{2} y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \cdot 7}{2 x^{2} y}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{7}{2 y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{7}{2 y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int \frac{7}{2 y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $\frac{7}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{7}{2}$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{\frac{7}{2} \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{7}{2} (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{\frac{7}{2} \ln (| y |)} + C$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $\frac{7}{2} \ln (| y |)$ путем переноса $\frac{7}{2}$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{\frac{7}{2}})} + C$

Этап 5.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{7}{2}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $2 x^{2} y d x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $y^{\frac{7}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $2 x^{2} y$ на $y^{\frac{7}{2}}$ .

$2 x^{2} y \cdot y^{\frac{7}{2}} d x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $y$ на $y^{\frac{7}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перенесем $y^{\frac{7}{2}}$ .

$2 x^{2} (y^{\frac{7}{2}} y) d x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 6.2.2

Умножим $y^{\frac{7}{2}}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$2 x^{2} (y^{\frac{7}{2}} y^{1}) d x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 6.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{2} y^{\frac{7}{2} + 1} d x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 6.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 x^{2} y^{\frac{7}{2} + \frac{2}{2}} d x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 6.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x^{2} y^{\frac{7 + 2}{2}} d x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 6.2.5

Добавим $7$ и $2$ .

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $3 x^{3} + y^{3}$ на $y^{\frac{7}{2}}$ .

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} + y^{3}) y^{\frac{7}{2}} d y = 0$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{3} y^{\frac{7}{2}}) d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $y^{3}$ на $y^{\frac{7}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{3 + \frac{7}{2}}) d y = 0$

Этап 6.5.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}}) d y = 0$

Этап 6.5.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{7}{2}}) d y = 0$

Этап 6.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{3 \cdot 2 + 7}{2}}) d y = 0$

Этап 6.5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{6 + 7}{2}}) d y = 0$

Этап 6.5.5.2

Добавим $6$ и $7$ .

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = 2 x^{2} y^{\frac{9}{2}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $2 y^{\frac{9}{2}}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2 y^{\frac{9}{2}}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 2 y^{\frac{9}{2}} \int x^{2} d x$

Этап 8.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 2 y^{\frac{9}{2}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 8.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $2 y^{\frac{9}{2}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ в виде $2 y^{\frac{9}{2}} \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$f (x, y) = 2 y^{\frac{9}{2}} \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 8.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = y^{\frac{9}{2}} \frac{2}{3} x^{3} + C$

Этап 8.3.2.2

Объединим $y^{\frac{9}{2}}$ и $\frac{2}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{\frac{9}{2}} \cdot 2}{3} x^{3} + C$

Этап 8.3.2.3

Перенесем $2$ влево от $y^{\frac{9}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{\frac{9}{2}}}{3} x^{3} + C$

Этап 8.3.2.4

Умножим $2$ на $y^{\frac{9}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{3} x^{3} + C$

Этап 8.3.2.5

Объединим $\frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{3}$ и $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{\frac{9}{2}} x^{3}}{3} + C$

Этап 8.3.3

Изменим порядок членов.

$f (x, y) = \frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3} + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3} + g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $y^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Этап 11.3.2

Объединим $\frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2 y^{\frac{9}{2}} x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Этап 11.3.3

Поскольку $\frac{2 x^{3}}{3}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{2 y^{\frac{9}{2}} x^{3}}{3}$ по $y$ равна $\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Этап 11.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = \frac{9}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Этап 11.3.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Этап 11.3.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Этап 11.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x^{3}}{3} (\frac{9}{2} y^{\frac{9 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Этап 11.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (\frac{9}{2} y^{\frac{9 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Этап 11.3.8.2

Вычтем $2$ из $9$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (\frac{9}{2} y^{\frac{7}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Этап 11.3.9

Объединим $\frac{9}{2}$ и $y^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} \cdot \frac{9 y^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Этап 11.3.10

Умножим $\frac{2 x^{3}}{3}$ на $\frac{9 y^{\frac{7}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 x^{3} (9 y^{\frac{7}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Этап 11.3.11

Умножим $9$ на $2$ .

$\frac{18 x^{3} y^{\frac{7}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Этап 11.3.12

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{18 x^{3} y^{\frac{7}{2}}}{6} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Этап 11.3.13

Вынесем множитель $6$ из $18 x^{3} y^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{6 (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}})}{6} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Этап 11.3.14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.14.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$\frac{6 (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}})}{6 (1)} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Этап 11.3.14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}})}{6 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Этап 11.3.14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x^{3} y^{\frac{7}{2}}}{1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Этап 11.3.14.4

Разделим $3 x^{3} y^{\frac{7}{2}}$ на $1$ .

$3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{\frac{7}{2}} x^{3} = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Этап 11.5.2

Изменим порядок множителей в $\frac{d g}{d y} + 3 y^{\frac{7}{2}} x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Объединим противоположные члены в $\frac{d g}{d y} + 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} - 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} - y^{\frac{13}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Вычтем $3 x^{3} y^{\frac{7}{2}}$ из $3 x^{3} y^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 - y^{\frac{13}{2}} = 0$

Этап 12.1.1.2

Добавим $\frac{d g}{d y}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{\frac{13}{2}} = 0$

Этап 12.1.2

Добавим $y^{\frac{13}{2}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} = y^{\frac{13}{2}}$

Этап 13

Найдем первообразную $y^{\frac{13}{2}}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = y^{\frac{13}{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{\frac{13}{2}} d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{\frac{13}{2}} d y$

Этап 13.3

По правилу степени интеграл $y^{\frac{13}{2}}$ по $y$ имеет вид $\frac{2}{15} y^{\frac{15}{2}}$ .

$g (y) = \frac{2}{15} y^{\frac{15}{2}} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3} + \frac{2}{15} y^{\frac{15}{2}} + C$

Этап 15

Упростим $f (x, y) = \frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3} + \frac{2}{15} y^{\frac{15}{2}} + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $y^{\frac{9}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{3} x^{3} + \frac{2}{15} y^{\frac{15}{2}} + C$

Этап 15.1.2

Объединим $\frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{3}$ и $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{\frac{9}{2}} x^{3}}{3} + \frac{2}{15} y^{\frac{15}{2}} + C$

Этап 15.1.3

Объединим $\frac{2}{15}$ и $y^{\frac{15}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{\frac{9}{2}} x^{3}}{3} + \frac{2 y^{\frac{15}{2}}}{15} + C$

Этап 15.2

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = \frac{2 y^{\frac{9}{2}} x^{3}}{3} + \frac{2 y^{\frac{15}{2}}}{15} + C$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{3} y^{\frac{9}{2}}}{3} + \frac{2 y^{\frac{15}{2}}}{15} + C$