Математический анализ Примеры

$x^{2} \frac{d y}{d x} - y \sqrt{x} = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Добавим $y \sqrt{x}$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}})$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}})$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.1.2.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} x^{- 2} d x$

Этап 2.3.1.2.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} x^{- 2} d x$

Этап 2.3.1.2.3

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} - 2} d x$

Этап 2.3.1.2.3.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Этап 2.3.1.2.3.3

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} d x$

Этап 2.3.1.2.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{2}} d x$

Этап 2.3.1.2.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.3.5.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1 - 4}{2}} d x$

Этап 2.3.1.2.3.5.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Этап 2.3.1.2.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$ в виде $- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y |) = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C} = | y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

Этап 3.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$ в виде $e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$