Математический анализ Примеры

$4 y \frac{d y}{d x} = 9 x^{2}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$4 y d y = 9 x^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 4 y d y = \int 9 x^{2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int y d y = \int 9 x^{2} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 9 x^{2} d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ в виде $4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$2 y^{2} + C_{1} = 9 \int x^{2} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 y^{2} + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ в виде $9 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$2 y^{2} + C_{1} = 9 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $9$ и $\frac{1}{3}$ .

$2 y^{2} + C_{1} = \frac{9}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$2 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$2 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 y^{2} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$2 y^{2} + C_{1} = 3 x^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$2 y^{2} = 3 x^{3} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 y^{2} = 3 x^{3} + K$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $2 y^{2} = 3 x^{3} + K$ на $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{3 x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{3 x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{3 x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 x^{3}}{2} + \frac{K}{2}}$

Этап 3.3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{3 x^{3}}{2} + \frac{K}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 x^{3} + K}{2}}$

Этап 3.3.2

Перепишем $\sqrt{\frac{3 x^{3} + K}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.3.3

Умножим $\frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.3.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.3.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 3.3.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 3.3.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.3.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.3.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.3.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 3.3.4.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.3.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{(3 x^{3} + K) \cdot 2}}{2}$

Этап 3.3.6

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(3 x^{3} + K) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$

Этап 3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$

Этап 3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$