Математический анализ Примеры

$\frac{d f}{d x} = 8 x + \frac{3 x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d f = (8 x + \frac{3 x}{\sqrt{9 - x^{2}}}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d f = \int 8 x + \frac{3 x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f + C_{1} = \int 8 x + \frac{3 x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f + C_{1} = \int 8 x d x + \int \frac{3 x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$f + C_{1} = 8 \int x d x + \int \frac{3 x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{3 x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$f + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 3 \int \frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Этап 2.3.5

Пусть $u = 9 - x^{2}$ . Тогда $d u = - 2 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Пусть $u = 9 - x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Дифференцируем $9 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Этап 2.3.5.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.2.1

По правилу суммы производная $9 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.3.5.1.2.2

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.3.5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Этап 2.3.5.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 x$

Этап 2.3.5.1.4

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$- 2 x$

Этап 2.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$f + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.3.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 2.3.6.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 3 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Этап 2.3.6.4

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{u}$ .

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 3 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 3 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Этап 2.3.8

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 3 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.9

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Этап 2.3.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 3$ .

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.10.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.10.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.3.10.2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 2.3.10.2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.10.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 2.3.10.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 2.3.11

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{3})$

Этап 2.3.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.12.1

Упростим.

$f + C_{1} = 4 x^{2} - \frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

Этап 2.3.12.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.12.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f + C_{1} = 4 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Этап 2.3.12.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{2}$ .

$f + C_{1} = 4 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Этап 2.3.12.2.3

Умножим $- 2$ на $3$ .

$f + C_{1} = 4 x^{2} + \frac{- 6}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Этап 2.3.12.2.4

Объединим $\frac{- 6}{2}$ и $u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 4 x^{2} + \frac{- 6 u^{\frac{1}{2}}}{2} + C_{4}$

Этап 2.3.12.2.5

Вынесем множитель $2$ из $- 6 u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 4 x^{2} + \frac{2 (- 3 u^{\frac{1}{2}})}{2} + C_{4}$

Этап 2.3.12.2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.12.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f + C_{1} = 4 x^{2} + \frac{2 (- 3 u^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + C_{4}$

Этап 2.3.12.2.6.2

Сократим общий множитель.

$f + C_{1} = 4 x^{2} + \frac{2 (- 3 u^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + C_{4}$

Этап 2.3.12.2.6.3

Перепишем это выражение.

$f + C_{1} = 4 x^{2} + \frac{- 3 u^{\frac{1}{2}}}{1} + C_{4}$

Этап 2.3.12.2.6.4

Разделим $- 3 u^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f + C_{1} = 4 x^{2} - 3 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Этап 2.3.13

Заменим все вхождения $u$ на $9 - x^{2}$ .

$f + C_{1} = 4 x^{2} - 3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$f = 4 x^{2} - 3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$