Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y + x^{2} y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y$ из $y + x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y^{1} + x^{2} y}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y \cdot 1 + x^{2} y}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y \cdot 1 + y x^{2}}$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y \cdot (1 + x^{2})}$

Этап 1.1.5

Умножим $y$ на $1 + x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y (1 + x^{2})}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{y}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{2 x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{y})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ на $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{(1 + x^{2}) y}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $(1 + x^{2}) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y (1 + x^{2})}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y (1 + x^{2})}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$y d y = \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Этап 2.3.2.1.5

Добавим $0$ и $2 x$ .

$2 x$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 2.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.5.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.5.3

Умножим $\int \frac{1}{u} d u$ на $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 \ln (| 1 + x^{2} |) + 2 C$

Этап 3.3

Упростим $2 \ln (| 1 + x^{2} |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$y^{2} = \ln ({| 1 + x^{2} |}^{2}) + 2 C$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\ln ({| 1 + x^{2} |}^{2}) + 2 C}$

Этап 3.5

Уберем знак модуля в ${| 1 + x^{2} |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$y = \pm \sqrt{\ln ({(1 + x^{2})}^{2}) + 2 C}$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + x^{2})}^{2}) + 2 C}$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + x^{2})}^{2}) + 2 C}$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + x^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + x^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + x^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + x^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + x^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + x^{2})}^{2}) + 2 C}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + x^{2})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + x^{2})}^{2}) + C}$