Математический анализ Примеры

$y^{9} d y = x^{3} d x$

Этап 1

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{9} d y = \int x^{3} d x$

Этап 1.2

По правилу степени интеграл $y^{9}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{10} y^{10}$ .

$\frac{1}{10} y^{10} + C_{1} = \int x^{3} d x$

Этап 1.3

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{10} y^{10} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Этап 1.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{10} y^{10} = \frac{1}{4} x^{4} + K$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим обе части уравнения на $10$ .

$10 (\frac{1}{10} y^{10}) = 10 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Этап 2.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим $10 (\frac{1}{10} y^{10})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{10}$ и $y^{10}$ .

$10 \frac{y^{10}}{10} = 10 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$10 \frac{y^{10}}{10} = 10 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{10} = 10 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Этап 2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим $10 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$y^{10} = 10 (\frac{x^{4}}{4} + K)$

Этап 2.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{10} = 10 \frac{x^{4}}{4} + 10 K$

Этап 2.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$y^{10} = 2 (5) \frac{x^{4}}{4} + 10 K$

Этап 2.2.2.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y^{10} = 2 \cdot 5 \frac{x^{4}}{2 \cdot 2} + 10 K$

Этап 2.2.2.1.3.3

Сократим общий множитель.

$y^{10} = 2 \cdot 5 \frac{x^{4}}{2 \cdot 2} + 10 K$

Этап 2.2.2.1.3.4

Перепишем это выражение.

$y^{10} = 5 \frac{x^{4}}{2} + 10 K$

Этап 2.2.2.1.4

Объединим $5$ и $\frac{x^{4}}{2}$ .

$y^{10} = \frac{5 x^{4}}{2} + 10 K$

Этап 2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt[10]{\frac{5 x^{4}}{2} + 10 K}$

Этап 2.4

Упростим $\pm \sqrt[10]{\frac{5 x^{4}}{2} + 10 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $5$ из $\frac{5 x^{4}}{2} + 10 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Вынесем множитель $5$ из $\frac{5 x^{4}}{2}$ .

$y = \pm \sqrt[10]{5 \frac{x^{4}}{2} + 10 K}$

Этап 2.4.1.2

Вынесем множитель $5$ из $10 K$ .

$y = \pm \sqrt[10]{5 \frac{x^{4}}{2} + 5 (2 K)}$

Этап 2.4.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 \frac{x^{4}}{2} + 5 (2 K)$ .

$y = \pm \sqrt[10]{5 (\frac{x^{4}}{2} + 2 K)}$

Этап 2.4.2

Чтобы записать $2 K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt[10]{5 (\frac{x^{4}}{2} + 2 K \cdot \frac{2}{2})}$

Этап 2.4.3

Объединим $2 K$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt[10]{5 (\frac{x^{4}}{2} + \frac{2 K \cdot 2}{2})}$

Этап 2.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt[10]{5 \frac{x^{4} + 2 K \cdot 2}{2}}$

Этап 2.4.5

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \pm \sqrt[10]{5 \frac{x^{4} + 4 K}{2}}$

Этап 2.4.6

Объединим $5$ и $\frac{x^{4} + 4 K}{2}$ .

$y = \pm \sqrt[10]{\frac{5 (x^{4} + 4 K)}{2}}$

Этап 2.4.7

Перепишем $\sqrt[10]{\frac{5 (x^{4} + 4 K)}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

Этап 2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

Этап 2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

Этап 2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

$y = - \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

$y = \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

$y = - \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

$y = \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

$y = - \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

Этап 3

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + K)}}{\sqrt[10]{2}}$

$y = - \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + K)}}{\sqrt[10]{2}}$