Математический анализ Примеры

$3 \frac{d y}{d θ} + \sin (θ) = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d θ}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $\sin (θ)$ из обеих частей уравнения.

$3 \frac{d y}{d θ} = - \sin (θ)$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $3 \frac{d y}{d θ} = - \sin (θ)$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $3 \frac{d y}{d θ} = - \sin (θ)$ на $3$ .

$\frac{3 \frac{d y}{d θ}}{3} = \frac{- \sin (θ)}{3}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \frac{d y}{d θ}}{3} = \frac{- \sin (θ)}{3}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d θ}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d θ} = \frac{- \sin (θ)}{3}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d θ} = - \frac{\sin (θ)}{3}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = - \frac{\sin (θ)}{3} d θ$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int - \frac{\sin (θ)}{3} d θ$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int - \frac{\sin (θ)}{3} d θ$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $θ$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sin (θ)}{3} d θ$

Этап 2.3.2

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $θ$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \sin (θ) d θ)$

Этап 2.3.3

Интеграл $\sin (θ)$ по $θ$ имеет вид $- \cos (θ)$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} (- \cos (θ) + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Упростим.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} (- \cos (θ)) + C_{2}$

Этап 2.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 (\frac{1}{3}) \cos (θ) + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cos (θ) + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\cos (θ)$ .

$y + C_{1} = \frac{\cos (θ)}{3} + C_{2}$

Этап 2.3.4.3

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cos (θ) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{3} \cos (θ) + K$