Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = y + \sin (x)$

Этап 1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} - y = \sin (x)$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 1 d x}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- x + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} \sin (x)$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} \sin (x)$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} \sin (x)$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = e^{- x} \sin (x)$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = e^{- x} \sin (x)$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int e^{- x} \sin (x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- x} y = \int e^{- x} \sin (x) d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Изменим порядок $e^{- x}$ и $\sin (x)$ .

$e^{- x} y = \int \sin (x) e^{- x} d x$

Этап 7.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sin (x)$ и $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} \cos (x) d x$

Этап 7.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) - - \int e^{- x} \cos (x) d x$

Этап 7.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} \cos (x) d x$

Этап 7.4.2

Умножим $\int e^{- x} \cos (x) d x$ на $1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \int e^{- x} \cos (x) d x$

Этап 7.4.3

Изменим порядок $e^{- x}$ и $\cos (x)$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \int \cos (x) e^{- x} d x$

Этап 7.5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \cos (x)$ и $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- \sin (x)) d x$

Этап 7.6

Поскольку $- - 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- - 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - (- - 1 \int e^{- x} (\sin (x)) d x)$

Этап 7.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - (1 \int e^{- x} (\sin (x)) d x)$

Этап 7.7.2

Умножим $\int e^{- x} (\sin (x)) d x$ на $1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - \int e^{- x} (\sin (x)) d x$

Этап 7.8

Найдя решение для $\int e^{- x} \sin (x) d x$ , получим $\int e^{- x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2}$ .

$e^{- x} y = \frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2} + C$

Этап 7.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Перепишем $\frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2} + C$ в виде $\frac{- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$ .

$e^{- x} y = \frac{- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$

Этап 7.9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.2.1.1

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.2.1.1.1

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $- \sin (x) e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x)) - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$

Этап 7.9.2.1.1.2

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $- \cos (x) e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x)) + e^{- x} (- \cos (x))}{2} + C$

Этап 7.9.2.1.1.3

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $e^{- x} (- \sin (x)) + e^{- x} (- \cos (x))$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x))}{2} + C$

Этап 7.9.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (x) - \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.2.1.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (x)$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x)) - \cos (x))}{2} + C$

Этап 7.9.2.1.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos (x)$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x)) - (\cos (x)))}{2} + C$

Этап 7.9.2.1.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin (x)) - (\cos (x))$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x) + \cos (x)))}{2} + C$

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} \cdot - 1 (\sin (x) + \cos (x))}{2} + C$

Этап 7.9.2.1.3

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$e^{- x} y = \frac{- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))}{2} + C$

Этап 7.9.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- x} y = - \frac{1}{2} e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)) + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $e^{- x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$

Этап 8.2

Разделим каждый член $e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$ на $e^{- x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим каждый член $e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$ на $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 8.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1

Вынесем множитель $\frac{e^{- x}}{2}$ из $\frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}}$ .

$y = \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3.1.2

Объединим.

$y = \frac{e^{- x} (- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x)))}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3.1.3

Сократим общий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{e^{- x} (- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x)))}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{2} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{\sin (x) + \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{- x}}$