Математический анализ Примеры

$y (1 + \cos (x y)) d x + x (1 + \cos (x y)) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y (1 + \cos (x y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (1 + \cos (x y))]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = y$ и $g (y) = 1 + \cos (x y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [1 + \cos (x y)] + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $1 + \cos (x y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\cos (x y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\cos (x y)]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [\cos (x y)]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [\cos (x y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [\cos (x y)] + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = \cos (y)$ и $g (y) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.4.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (u) \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x y$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) (x \frac{d}{d y} [y])) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) (x \cdot 1)) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.5.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) x) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) x) + (1 + \cos (x y)) \cdot 1$

Этап 1.5.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Умножим $1 + \cos (x y)$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) x) + 1 + \cos (x y)$

Этап 1.5.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x (1 + \cos (x y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (1 + \cos (x y))]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 1 + \cos (x y)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [1 + \cos (x y)] + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $1 + \cos (x y)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x y)]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x y)]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\cos (x y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\cos (x y)] + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) (y \frac{d}{d x} [x])) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) (y \cdot 1)) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.5.3

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) y) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) y) + (1 + \cos (x y)) \cdot 1$

Этап 2.5.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Умножим $1 + \cos (x y)$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) y) + 1 + \cos (x y)$

Этап 2.5.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y) = - x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$- x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y) = - x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x (1 + \cos (x y)) d y$

Этап 5

Проинтегрируем $N (x, y) = x (1 + \cos (x y))$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $x$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $x$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x \int 1 + \cos (x y) d y$

Этап 5.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = x (\int d y + \int \cos (x y) d y)$

Этап 5.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = x (y + C + \int \cos (x y) d y)$

Этап 5.4

Пусть $u = x y$ . Тогда $d u = x d y$ , следовательно $\frac{1}{x} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Пусть $u = x y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Дифференцируем $x y$ .

$\frac{d}{d y} [x y]$

Этап 5.4.1.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x y$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y]$

Этап 5.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x \cdot 1$

Этап 5.4.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$x$

Этап 5.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$f (x, y) = x (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{x} d u)$

Этап 5.5

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = x (y + C + \int \frac{\cos (u)}{x} d u)$

Этап 5.6

Поскольку $\frac{1}{x}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{x}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x (y + C + \frac{1}{x} \int \cos (u) d u)$

Этап 5.7

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$f (x, y) = x (y + C + \frac{1}{x} (\sin (u) + C))$

Этап 5.8

Упростим.

$f (x, y) = x (y + \frac{\sin (u)}{x}) + C$

Этап 5.9

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$f (x, y) = x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + g (x)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x (y + \frac{\sin (x y)}{x})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x (y + \frac{\sin (x y)}{x})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x (y + \frac{\sin (x y)}{x})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

$x \frac{d}{d x} [y + \frac{\sin (x y)}{x}] + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.3.2

По правилу суммы производная $y + \frac{\sin (x y)}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x y)}{x}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x y)}{x}]) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.3.3

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x y)}{x}]) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.3.4

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \sin (x y)$ и $g (x) = x$ .

$x (0 + \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x y)] - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.3.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$x (0 + \frac{x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.3.5.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.3.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.3.6

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) (y \frac{d}{d x} [x])) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) (y \cdot 1)) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) (y \cdot 1)) - \sin (x y) \cdot 1}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) (y \cdot 1)) - \sin (x y) \cdot 1}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.3.10

Умножим $y$ на $1$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y) \cdot 1}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.3.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.3.12

Добавим $0$ и $\frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x^{2}}$ .

$x \frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x^{2}} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.3.13

Объединим $x$ и $\frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (x (\cos (x y) y) - \sin (x y))}{x^{2}} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.3.14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.14.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x (x (\cos (x y) y) - \sin (x y))}{x \cdot x} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.3.14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x (\cos (x y) y) - \sin (x y))}{x \cdot x} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.3.14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.3.15

Умножим $y + \frac{\sin (x y)}{x}$ на $1$ .

$\frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x} + y + \frac{\sin (x y)}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$y + \frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y) + \sin (x y)}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.3.17

Добавим $- \sin (x y)$ и $\sin (x y)$ .

$y + \frac{x (\cos (x y) y) + 0}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.3.18

Добавим $x (\cos (x y) y)$ и $0$ .

$y + \frac{x (\cos (x y) y)}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.3.19

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.19.1

Сократим общий множитель.

$y + \frac{x (\cos (x y) y)}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.3.19.2

Разделим $\cos (x y) y$ на $1$ .

$y + \cos (x y) y + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y + \cos (x y) y + \frac{d g}{d x} = y (1 + \cos (x y))$

Этап 8.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = y (1 + \cos (x y))$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Упростим $y (1 + \cos (x y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1.1

Перепишем.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = 0 + 0 + y (1 + \cos (x y))$

Этап 9.1.1.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = y (1 + \cos (x y))$

Этап 9.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = y \cdot 1 + y \cos (x y)$

Этап 9.1.1.1.4

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = y + y \cos (x y)$

Этап 9.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем $y \cos (x y)$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + y = y + y \cos (x y) - y \cos (x y)$

Этап 9.1.2.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = y + y \cos (x y) - y \cos (x y) - y$

Этап 9.1.2.3

Объединим противоположные члены в $y + y \cos (x y) - y \cos (x y) - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.3.1

Вычтем $y \cos (x y)$ из $y \cos (x y)$ .

$\frac{d g}{d x} = y + 0 - y$

Этап 9.1.2.3.2

Добавим $y$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y - y$

Этап 9.1.2.3.3

Вычтем $y$ из $y$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Этап 10

Найдем первообразную $0$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Этап 10.3

Интеграл $0$ по $x$ имеет вид $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Этап 10.4

Добавим $0$ и $C$ .

$g (x) = C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + g (x)$ .

$f (x, y) = x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + C$

Этап 12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = x y + x \frac{\sin (x y)}{x} + C$

Этап 12.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = x y + x \frac{\sin (x y)}{x} + C$

Этап 12.2.2

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = x y + \sin (x y) + C$