Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} + 4 x y - 2 x^{2} = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $2 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$x \frac{d y}{d x} + 4 x y = 2 x^{2}$

Этап 1.2

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} + 4 x y = 2 x^{2}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{4 x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{4 x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x}$

Этап 1.3.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{4 x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{4 x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x}$

Этап 1.4.2

Разделим $4 y$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 4 y = \frac{2 x^{2}}{x}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + 4 y = \frac{x (2 x)}{x}$

Этап 1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 4 y = \frac{x (2 x)}{x^{1}}$

Этап 1.5.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + 4 y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1}$

Этап 1.5.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1}$

Этап 1.5.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = \frac{2 x}{1}$

Этап 1.5.2.5

Разделим $2 x$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 4 d x}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{4 x + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{4 x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} (2 x)$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} (2 x)$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 2 e^{4 x} x$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 2 e^{4 x} x$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = 2 x e^{4 x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = 2 x e^{4 x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int 2 x e^{4 x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{4 x} y = \int 2 x e^{4 x} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{4 x} y = 2 \int x e^{4 x} d x$

Этап 7.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Этап 7.3.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Этап 7.3.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

Этап 7.4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

Этап 7.5

Пусть $u = 4 x$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Пусть $u = 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Дифференцируем $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 7.5.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 7.5.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 7.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Этап 7.6

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Этап 7.7

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Этап 7.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Этап 7.8.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Этап 7.9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Этап 7.10

Перепишем $2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ в виде $2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Этап 7.11

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Этап 7.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.12.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Этап 7.12.1.2

Объединим $\frac{x}{4}$ и $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Этап 7.12.1.3

Объединим $e^{4 x}$ и $\frac{1}{16}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Этап 7.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{4} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Этап 7.12.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.12.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{2 (2)} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Этап 7.12.3.2

Сократим общий множитель.

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Этап 7.12.3.3

Перепишем это выражение.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Этап 7.12.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.12.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{4 x}}{16}$ в числитель.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

Этап 7.12.4.2

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 (8)} + C$

Этап 7.12.4.3

Сократим общий множитель.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8} + C$

Этап 7.12.4.4

Перепишем это выражение.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{- e^{4 x}}{8} + C$

Этап 7.12.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} - \frac{e^{4 x}}{8} + C$

Этап 7.13

Изменим порядок членов.

$e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$ на $e^{4 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$ на $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $e^{4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Этап 8.3.1.1.2

Разделим $\frac{1}{2} x$ на $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Этап 8.3.1.2

Сократим общий множитель $e^{4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Этап 8.3.1.2.2

Разделим $- \frac{1}{8}$ на $1$ .

$y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Этап 8.3.2

Вычтем $\frac{1}{8}$ из $\frac{1}{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$y = x \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Этап 8.3.2.2

Чтобы записать $x \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$y = x \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Этап 8.3.2.3

Объединим $x \frac{1}{2}$ и $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 8}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Этап 8.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 8 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Этап 8.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot 8 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Этап 8.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 (4)) - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Этап 8.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 4) - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Этап 8.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x \cdot 4 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Этап 8.3.3.3

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$y = \frac{4 x - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Этап 8.3.4

Чтобы записать $\frac{4 x - 1}{8}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{4 x}}{e^{4 x}}$ .

$y = \frac{4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Этап 8.3.5

Чтобы записать $\frac{C}{e^{4 x}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}} \cdot \frac{8}{8}$

Этап 8.3.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8 e^{4 x}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.1

Умножим $\frac{4 x - 1}{8}$ на $\frac{e^{4 x}}{e^{4 x}}$ .

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}} \cdot \frac{8}{8}$

Этап 8.3.6.2

Умножим $\frac{C}{e^{4 x}}$ на $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C \cdot 8}{e^{4 x} \cdot 8}$

Этап 8.3.6.3

Изменим порядок множителей в $e^{4 x} \cdot 8$ .

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

Этап 8.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

Этап 8.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{4 x e^{4 x} - 1 e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

Этап 8.3.8.2

Перепишем $- 1 e^{4 x}$ в виде $- e^{4 x}$ .

$y = \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

Этап 8.3.8.3

Перенесем $8$ влево от $C$ .

$y = \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} + 8 C}{8 e^{4 x}}$