Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{1 - 2 x}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{4}{1 - 2 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{4}{1 - 2 x} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{4}{1 - 2 x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 1 - 2 x$ . Тогда $d u = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 1 - 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Этап 2.3.2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.3.2.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.3.2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Этап 2.3.2.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$0 - 2$

Этап 2.3.2.1.4

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 2.3.3.2

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 2.3.3.3

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$y + C_{1} = 4 \int - \frac{1}{2 u} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 4 (- \int \frac{1}{2 u} d u)$

Этап 2.3.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 2.3.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.7.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.7.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 2.3.9

Упростим.

$y + C_{1} = - 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 2.3.10

Заменим все вхождения $u$ на $1 - 2 x$ .

$y + C_{1} = - 2 \ln (| 1 - 2 x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = - 2 \ln (| 1 - 2 x |) + C$