Математический анализ Примеры

$y \ln (y) d x + x d y = 0$

Этап 1

Вычтем $y \ln (y) d x$ из обеих частей уравнения.

$x d y = - y \ln (y) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x y \ln (y)}$ .

$\frac{1}{x y \ln (y)} x d y = \frac{1}{x y \ln (y)} (- y \ln (y)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x y \ln (y)$ .

$\frac{1}{x (y \ln (y))} x d y = \frac{1}{x y \ln (y)} (- y \ln (y)) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x (y \ln (y))} x d y = \frac{1}{x y \ln (y)} (- y \ln (y)) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{1}{x y \ln (y)} (- y \ln (y)) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - \frac{1}{x y \ln (y)} (y \ln (y)) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $y \ln (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x y \ln (y)}$ в числитель.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 1}{x y \ln (y)} (y \ln (y)) d x$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y \ln (y)$ из $x y \ln (y)$ .

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 1}{y \ln (y) (x)} (y \ln (y)) d x$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 1}{y \ln (y) x} (y \ln (y)) d x$

Этап 3.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Этап 3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - \frac{1}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y \ln (y)} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Пусть $u = \ln (y)$ . Тогда $d u = \frac{1}{y} d y$ , следовательно $y d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Пусть $u = \ln (y)$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Дифференцируем $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Этап 4.2.1.1.2

Производная $\ln (y)$ по $y$ равна $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Этап 4.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (y)$ .

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 4.3.3

Упростим.

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| \ln (y) |) = - \ln (| x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| \ln (y) |) + \ln (| x |) = C$

Этап 5.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \ln (y) | | x |) = C$

Этап 5.3

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (| \ln (y) x |) = C$

Этап 5.4

Изменим порядок множителей в $\ln (| \ln (y) x |)$ .

$\ln (| x \ln (y) |) = C$

Этап 5.5

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| x \ln (y) |)} = e^{C}$

Этап 5.6

Перепишем $\ln (| x \ln (y) |) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | x \ln (y) |$

Этап 5.7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Перепишем уравнение в виде $| x \ln (y) | = e^{C}$ .

$| x \ln (y) | = e^{C}$

Этап 5.7.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x \ln (y) = \pm e^{C}$

Этап 5.7.2.2

Разделим каждый член $x \ln (y) = \pm e^{C}$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1

Разделим каждый член $x \ln (y) = \pm e^{C}$ на $x$ .

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Этап 5.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Этап 5.7.2.2.2.1.2

Разделим $\ln (y)$ на $1$ .

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Этап 5.7.2.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (y)} = e^{\frac{\pm e^{C}}{x}}$

Этап 5.7.2.4

Перепишем $\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{\pm e^{C}}{x}} = y$

Этап 5.7.2.5

Перепишем уравнение в виде $y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x}}$ .

$y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x}}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = e^{\frac{C}{x}}$