Математический анализ Примеры

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y + 4 x^{2}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y + 4 x^{2}$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y + 4 x^{2}$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x (y)}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x (y)}{x \cdot x} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x \cdot x} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.1.2.2

Разделим $4$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x} + 4$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ в виде ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{2} + \frac{y}{x} + 4$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{2} + V + 4$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{2} + V + 4$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + V + 4 - V$

Этап 6.1.1.1.2

Объединим противоположные члены в $V^{2} + V + 4 - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.2.1

Вычтем $V$ из $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 0 + 4$

Этап 6.1.1.1.2.2

Добавим $V^{2}$ и $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 4$

Этап 6.1.1.2

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 4$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 4$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{4}{x}$

Этап 6.1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{4}{x}$

Этап 6.1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{4}{x}$

Этап 6.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} + 4}{x}$

Этап 6.1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{V^{2} + 4}$ .

$\frac{1}{V^{2} + 4} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2} + 4} \cdot \frac{V^{2} + 4}{x}$

Этап 6.1.4

Сократим общий множитель $V^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{V^{2} + 4} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2} + 4} \cdot \frac{V^{2} + 4}{x}$

Этап 6.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{V^{2} + 4} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 6.1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{V^{2} + 4} d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{V^{2} + 4} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Изменим порядок $V^{2}$ и $4$ .

$\int \frac{1}{4 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{2^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

Интеграл $\frac{1}{2^{2} + V^{2}}$ по $V$ имеет вид $\frac{1}{2} \arctan (\frac{V}{2}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{V}{2}) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\arctan (\frac{V}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{V}{2})}{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.2

Перепишем $\frac{\arctan (\frac{V}{2})}{2} + C_{1}$ в виде $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) = \ln (| x |) + C$

Этап 6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Каждый член в $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) = \ln (| x |) + C$ умножим на $2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Умножим каждый член $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) = \ln (| x |) + C$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 6.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $V$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{V}{2}) \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 6.3.1.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\arctan (\frac{V}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{V}{2})}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 6.3.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\arctan (\frac{V}{2})}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 6.3.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\arctan (\frac{V}{2}) = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 6.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Умножим $\ln (| x |) \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1.1

Изменим порядок $\ln (| x |)$ и $2$ .

$\arctan (\frac{V}{2}) = 2 \cdot \ln (| x |) + C \cdot 2$

Этап 6.3.1.3.1.1.2

Упростим $2 \cdot \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\arctan (\frac{V}{2}) = \ln ({| x |}^{2}) + C \cdot 2$

Этап 6.3.1.3.1.2

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\arctan (\frac{V}{2}) = \ln (x^{2}) + C \cdot 2$

Этап 6.3.1.3.1.3

Перенесем $2$ влево от $C$ .

$\arctan (\frac{V}{2}) = \ln (x^{2}) + 2 C$

Этап 6.3.2

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $V$ из арктангенса.

$\frac{V}{2} = \tan (\ln (x^{2}) + 2 C)$

Этап 6.3.3

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{V}{2} = 2 \tan (\ln (x^{2}) + 2 C)$

Этап 6.3.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{V}{2} = 2 \tan (\ln (x^{2}) + 2 C)$

Этап 6.3.4.1.2

Перепишем это выражение.

$V = 2 \tan (\ln (x^{2}) + 2 C)$

Этап 6.4

Упростим постоянную интегрирования.

$V = 2 \tan (\ln (x^{2}) + C)$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = 2 \tan (\ln (x^{2}) + C)$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} = 2 \tan (\ln (x^{2}) + C)$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = 2 \tan (\ln (x^{2}) + C) x$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = 2 \tan (\ln (x^{2}) + C) x$

Этап 8.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = 2 \tan (\ln (x^{2}) + C) x$

Этап 8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Изменим порядок множителей в $2 \tan (\ln (x^{2}) + C) x$ .

$y = 2 x \tan (\ln (x^{2}) + C)$