Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = {(1 - y)}^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{{(1 - y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 - y)}^{2}} {(1 - y)}^{2}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель ${(1 - y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{(1 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 - y)}^{2}} {(1 - y)}^{2}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(1 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{{(1 - y)}^{2}} d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{{(1 - y)}^{2}} d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 1 - y$ . Тогда $d u = - d y$ , следовательно $- d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 1 - y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u^{2}} d u = \int d x$

Этап 2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{1}{u^{2}} d u = \int d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{u^{2}} d u = \int d x$

Этап 2.2.4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int d x$

Этап 2.2.4.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{2 \cdot - 1} d u = \int d x$

Этап 2.2.4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \int u^{- 2} d u = \int d x$

Этап 2.2.5

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- (- u^{- 1} + C_{1}) = \int d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Перепишем $- (- u^{- 1} + C_{1})$ в виде $- - \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- - \frac{1}{u} + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{1}{u} + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.6.2.2

Умножим $\frac{1}{u}$ на $1$ .

$\frac{1}{u} + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $1 - y$ .

$\frac{1}{1 - y} + C_{1} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{1 - y} + C_{1} = x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{1 - y} = x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1 - y, 1, 1$

Этап 3.1.2

Избавимся от скобок.

$1 - y, 1, 1$

Этап 3.1.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$1 - y$

Этап 3.2

Каждый член в $\frac{1}{1 - y} = x + K$ умножим на $1 - y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $\frac{1}{1 - y} = x + K$ на $1 - y$ .

$\frac{1}{1 - y} (1 - y) = x (1 - y) + K (1 - y)$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $1 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 - y} (1 - y) = x (1 - y) + K (1 - y)$

Этап 3.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = x (1 - y) + K (1 - y)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = x \cdot 1 + x (- y) + K (1 - y)$

Этап 3.2.3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$1 = x + x (- y) + K (1 - y)$

Этап 3.2.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = x - x y + K (1 - y)$

Этап 3.2.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = x - x y + K \cdot 1 + K (- y)$

Этап 3.2.3.1.5

Умножим $K$ на $1$ .

$1 = x - x y + K + K (- y)$

Этап 3.2.3.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = x - x y + K - K y$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $x - x y + K - K y = 1$ .

$x - x y + K - K y = 1$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- x y + K - K y = 1 - x$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$- x y - K y = 1 - x - K$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $- x y - K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $- x y$ .

$y (- x) - K y = 1 - x - K$

Этап 3.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- K y$ .

$y (- x) + y (- K) = 1 - x - K$

Этап 3.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- x) + y (- K)$ .

$y (- x - K) = 1 - x - K$

Этап 3.3.4

Разделим каждый член $y (- x - K) = 1 - x - K$ на $- x - K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Разделим каждый член $y (- x - K) = 1 - x - K$ на $- x - K$ .

$\frac{y (- x - K)}{- x - K} = \frac{1}{- x - K} + \frac{- x}{- x - K} + \frac{- K}{- x - K}$

Этап 3.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Сократим общий множитель $- x - K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (- x - K)}{- x - K} = \frac{1}{- x - K} + \frac{- x}{- x - K} + \frac{- K}{- x - K}$

Этап 3.3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{- x - K} + \frac{- x}{- x - K} + \frac{- K}{- x - K}$

Этап 3.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{1}{- x - K} - \frac{x}{- x - K} + \frac{- K}{- x - K}$

Этап 3.3.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{1}{- x - K} - \frac{x}{- x - K} - \frac{K}{- x - K}$

Этап 3.3.4.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{1 - x}{- x - K} - \frac{K}{- x - K}$

Этап 3.3.4.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{1 - x - K}{- x - K}$

Этап 3.3.4.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y = \frac{1 - x - K}{- (x) - K}$

Этап 3.3.4.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - K$ .

$y = \frac{1 - x - K}{- (x + K)}$

Этап 3.3.4.3.2.5

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.2.5.1

Перепишем $- (x + K)$ в виде $- 1 (x + K)$ .

$y = \frac{1 - x - K}{- 1 (x + K)}$

Этап 3.3.4.3.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1 - x - K}{x + K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{1 - x + K}{x + K}$