Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (y - 3)}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{y - 3} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{y - 3}{y}$ .

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{y} (\frac{y}{y - 3} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{y}{y - 3}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{y} \cdot \frac{y}{(y - 3) x}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $y - 3$ из $(y - 3) x$ .

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{y} \cdot \frac{y}{(y - 3) (x)}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{y} \cdot \frac{y}{(y - 3) x}$

Этап 1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Этап 1.3.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Этап 1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{y - 3}{y} d y = \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y - 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int \frac{y}{y} + \frac{- 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\int d y + \int \frac{- 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int d y + \int - \frac{3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} + \int - \frac{3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} - \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.6

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.8

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$y + C_{1} - 3 (\ln (| y |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.9

Упростим.

$y - 3 \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$y - 3 \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y - 3 \ln (| y |) = \ln (| x |) + C$