Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y}$ на $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.2

Умножим $\frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y}$ на $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(2 x y + 3 y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \frac{1}{x^{2}} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y) \frac{1}{x^{2}} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.4.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.5

Объединим $2$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{2}{x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.6

Объединим $y$ и $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.7

Умножим $3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + y^{2} \frac{3}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.7.2

Объединим $y^{2}$ и $\frac{3}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.9

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.10

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + x (2 y) \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.10.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Этап 1.10.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Этап 1.10.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + 2 y \frac{1}{x}}$

Этап 1.11

Объединим $2$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + y \frac{2}{x}}$

Этап 1.12

Объединим $y$ и $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Этап 1.13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 \cdot y}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Этап 1.13.2

Перенесем $3$ влево от $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Этап 1.14

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Этап 1.15

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{2 y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.1

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x} \cdot 2 + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Этап 1.15.2

Изменим порядок $\frac{y}{x}$ и $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Этап 1.16

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.16.1

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{3 y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Этап 1.16.2

Изменим порядок $\frac{y}{x}$ и $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{3 y}{x} \cdot \frac{y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Этап 1.17

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{3 y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.1

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot 3 \frac{y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Этап 1.17.2

Изменим порядок $\frac{y}{x}$ и $3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Этап 1.18

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{2 y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.1

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}}{1 + \frac{y}{x} \cdot 2}$

Этап 1.18.2

Изменим порядок $\frac{y}{x}$ и $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}}{1 + 2 \cdot \frac{y}{x}}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot V + 3 \cdot V \cdot V}{1 + 2 \cdot V}$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{2 \cdot V + 3 \cdot V \cdot V}{1 + 2 \cdot V}$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Вынесем множитель $V$ из $2 \cdot V + 3 \cdot V \cdot V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Вынесем множитель $V$ из $2 \cdot V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot 2 + 3 \cdot V \cdot V}{1 + 2 \cdot V}$

Этап 6.1.1.1.2

Вынесем множитель $V$ из $3 \cdot V \cdot V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot 2 + V (3 V)}{1 + 2 \cdot V}$

Этап 6.1.1.1.3

Вынесем множитель $V$ из $V \cdot 2 + V (3 V)$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 \cdot V}$

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}$

Этап 6.1.1.2

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V$

Этап 6.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2

Чтобы записать $- V$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + 2 V}{1 + 2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V \cdot \frac{1 + 2 V}{1 + 2 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.3.1

Объединим $- V$ и $\frac{1 + 2 V}{1 + 2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} + \frac{- V (1 + 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V) - V (1 + 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.4.1

Вынесем множитель $V$ из $V (2 + 3 V) - V (1 + 2 V)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.4.1.1

Вынесем множитель $V$ из $- V (1 + 2 V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V) + V (- (1 + 2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.1.2

Вынесем множитель $V$ из $V (2 + 3 V) + V (- (1 + 2 V))$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - (1 + 2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - 1 \cdot 1 - (2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - 1 - (2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - 1 - 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.5

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (3 V + 1 - 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.6

Вычтем $2 V$ из $3 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{1 + 2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.6

Умножим $\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$

Этап 6.1.1.3.3.7

Изменим порядок множителей в $\frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{x (1 + 2 V)}$

Этап 6.1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{1 + 2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.3

Умножим обе части на $\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)}$ .

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} (\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Умножим $\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$

Этап 6.1.4.2

Сократим общий множитель $1 + 2 V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.2.1

Вынесем множитель $1 + 2 V$ из $(1 + 2 V) x$ .

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) (x)}$

Этап 6.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$

Этап 6.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{x}$

Этап 6.1.4.3

Сократим общий множитель $V (V + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{x}$

Этап 6.1.4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 6.1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{V} + \frac{B}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $V (V + 1)$ .

$\frac{(1 + 2 V) (V (V + 1))}{V (V + 1)} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + 2 V) (V (V + 1))}{V (V + 1)} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(1 + 2 V) (V + 1)}{V + 1} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.4

Сократим общий множитель $V + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + 2 V) (V + 1)}{V + 1} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.4.2

Разделим $1 + 2 V$ на $1$ .

$1 + 2 V = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.5

Изменим порядок $1$ и $2 V$ .

$2 V + 1 = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.6.1

Сократим общий множитель $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$2 V + 1 = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.6.1.2

Разделим $A (V + 1)$ на $1$ .

$2 V + 1 = A (V + 1) + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 V + 1 = A V + A \cdot 1 + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.6.3

Умножим $A$ на $1$ .

$2 V + 1 = A V + A + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.6.4

Сократим общий множитель $V + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$2 V + 1 = A V + A + \frac{B (V (V + 1))}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.6.4.2

Разделим $(B) (V)$ на $1$ .

$2 V + 1 = A V + A + (B) (V)$

$2 V + 1 = A V + A + B V$

Этап 6.2.2.1.1.7

Перенесем $A$ .

$2 V + 1 = A V + B V + A$

Этап 6.2.2.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $V$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = A + B$

Этап 6.2.2.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $V$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A$

Этап 6.2.2.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$2 = A + B$

$1 = A$

$2 = A + B$

$1 = A$

Этап 6.2.2.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.1

Перепишем уравнение в виде $A = 1$ .

$A = 1$

$2 = A + B$

Этап 6.2.2.1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $2 = A + B$ на $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

Этап 6.2.2.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

Этап 6.2.2.1.3.3

Решим относительно $B$ в $2 = 1 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $1 + B = 2$ .

$1 + B = 2$

$A = 1$

Этап 6.2.2.1.3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

Этап 6.2.2.1.3.3.2.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

Этап 6.2.2.1.3.4

Решим систему уравнений.

$B = 1 A = 1$

Этап 6.2.2.1.3.5

Перечислим все решения.

$B = 1, A = 1$

Этап 6.2.2.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{V} + \frac{B}{V + 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{1}{V} + \frac{1}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.5

Удалим ноль из выражения.

$\int \frac{1}{V} + \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{V} d V + \int \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3

Интеграл $\frac{1}{V}$ по $V$ имеет вид $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4

Пусть $u = V + 1$ . Тогда $d u = d V$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.4.1

Пусть $u = V + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.4.1.1

Дифференцируем $V + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V + 1]$

Этап 6.2.2.4.1.2

По правилу суммы производная $V + 1$ по $V$ имеет вид $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$

Этап 6.2.2.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ имеет вид $n V^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [1]$

Этап 6.2.2.4.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $V$ , производная $1$ относительно $V$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.2.2.4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2.2.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \ln (| u |) + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.6.1

Упростим.

$\ln (| V |) + \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.6.2.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V | | u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6.2.2

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (| V u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $V + 1$ .

$\ln (| V (V + 1) |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| V (V + 1) |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| V (V + 1) |) = \ln (| x |) + C$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\ln (| \frac{y}{x} (\frac{y}{x} + 1) |) = \ln (| x |) + C$

Этап 8

Решим $\ln (| \frac{y}{x} (\frac{y}{x} + 1) |) = \ln (| x |) + C$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot (\frac{y}{x} + 1) |) - \ln (| x |) = C$

Этап 8.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{y}{x} \cdot (\frac{y}{x} + 1) |}{| x |}) = C$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $\frac{y}{x}$ на $\frac{y}{x} + 1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (\frac{y}{x} + 1)}{x} |}{| x |}) = C$

Этап 8.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\ln (\frac{| \frac{y (\frac{y}{x} + \frac{x}{x})}{x} |}{| x |}) = C$

Этап 8.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (\frac{| \frac{y (\frac{y + x}{x})}{x} |}{| x |}) = C$

Этап 8.3.3

Объединим $y$ и $\frac{y + x}{x}$ .

$\ln (\frac{| \frac{\frac{y (y + x)}{x}}{x} |}{| x |}) = C$

Этап 8.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x} \cdot \frac{1}{x} |}{| x |}) = C$

Этап 8.3.5

Умножим $\frac{y (y + x)}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.1

Умножим $\frac{y (y + x)}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x \cdot x} |}{| x |}) = C$

Этап 8.3.5.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x \cdot x} |}{| x |}) = C$

Этап 8.3.5.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x \cdot x} |}{| x |}) = C$

Этап 8.3.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x^{1 + 1}} |}{| x |}) = C$

Этап 8.3.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x^{2}} |}{| x |}) = C$

Этап 8.3.6

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$\ln (\frac{\frac{| y (y + x) |}{x^{2}}}{| x |}) = C$

Этап 8.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (\frac{| y (y + x) |}{x^{2}} \cdot \frac{1}{| x |}) = C$

Этап 8.5

Объединим.

$\ln (\frac{| y (y + x) | \cdot 1}{x^{2} | x |}) = C$

Этап 8.6

Умножим $| y (y + x) |$ на $1$ .

$\ln (\frac{| y (y + x) |}{x^{2} | x |}) = C$