Математический анализ Примеры

$(4 y + x^{2} y) d x + (y - 1) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 4 y + x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 y + x^{2} y]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $4 y + x^{2} y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4 y$ по $y$ равна $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{2} y$ по $y$ равна $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2} \cdot 1$

Этап 1.4.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2}$

Этап 1.5

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} + 4$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - 1]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $y - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Этап 2.5

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $x^{2} + 4$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $0$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$x^{2} + 4 = 0$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $x^{2} + 4$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (x^{2} + 4)}{M}$

Этап 4.3

Подставим $4 y + x^{2} y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $4 y + x^{2} y$ вместо $M$ .

$\frac{0 - (x^{2} + 4)}{4 y + x^{2} y}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{0 - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 y + x^{2} y}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{0 - x^{2} - 4}{4 y + x^{2} y}$

Этап 4.3.2.3

Вычтем $- (- x^{2} - 4)$ из $0$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{4 y + x^{2} y}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $4 y + x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $4 y$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{y \cdot 4 + x^{2} y}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{y \cdot 4 + y x^{2}}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 4 + y x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{y (4 + x^{2})}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $- x^{2} - 4$ и $4 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 4}{y (4 + x^{2})}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (4)}{y (4 + x^{2})}$

Этап 4.3.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (4)$ .

$\frac{- (x^{2} + 4)}{y (4 + x^{2})}$

Этап 4.3.4.4

Перепишем $- (x^{2} + 4)$ в виде $- 1 (x^{2} + 4)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (4 + x^{2})}$

Этап 4.3.4.5

Изменим порядок членов.

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (x^{2} + 4)}$

Этап 4.3.4.6

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (x^{2} + 4)}$

Этап 4.3.4.7

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{y}$

Этап 4.3.5

Подставим $4 y + x^{2} y$ вместо $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $- \ln (| y |)$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Этап 5.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Этап 5.4.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(4 y + x^{2} y) d x + (y - 1) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $4 y + x^{2} y$ на $\frac{1}{y}$ .

$(4 y + x^{2} y) \frac{1}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $4 y + x^{2} y$ на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{4 y + x^{2} y}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Этап 6.3

Вынесем множитель $y$ из $4 y + x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $y$ из $4 y$ .

$\frac{y \cdot 4 + x^{2} y}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y$ .

$\frac{y \cdot 4 + y x^{2}}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Этап 6.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 4 + y x^{2}$ .

$\frac{y (4 + x^{2})}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (4 + x^{2})}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Этап 6.4.2

Разделим $4 + x^{2}$ на $1$ .

$(4 + x^{2}) d x + (y - 1) d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $y - 1$ на $\frac{1}{y}$ .

$(4 + x^{2}) d x + (y - 1) \frac{1}{y} d y = 0$

Этап 6.6

Умножим $y - 1$ на $\frac{1}{y}$ .

$(4 + x^{2}) d x + \frac{y - 1}{y} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 + x^{2} d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = 4 + x^{2}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int 4 d x + \int x^{2} d x$

Этап 8.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = 4 x + C + \int x^{2} d x$

Этап 8.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 4 x + C + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 8.4

Упростим.

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y - 1}{y}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Этап 11.3

Поскольку $4 x$ является константой относительно $y$ , производная $4 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Этап 11.4

Поскольку $\frac{1}{3} x^{3}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{1}{3} x^{3}$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Этап 11.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

Этап 11.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

Этап 11.6.2

Добавим $0$ и $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

Этап 12

Найдем первообразную $\frac{y - 1}{y}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y - 1}{y} d y$

Этап 12.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y - 1}{y} d y$

Этап 12.3

Разделим дробь на несколько дробей.

$g (y) = \int \frac{y}{y} + \frac{- 1}{y} d y$

Этап 12.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

Этап 12.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1.1

Сократим общий множитель.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

Этап 12.5.1.2

Перепишем это выражение.

$g (y) = \int d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

Этап 12.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$g (y) = \int d y + \int - \frac{1}{y} d y$

Этап 12.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (y) = y + C + \int - \frac{1}{y} d y$

Этап 12.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = y + C - \int \frac{1}{y} d y$

Этап 12.8

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$g (y) = y + C - (\ln (| y |) + C)$

Этап 12.9

Упростим.

$g (y) = y - \ln (| y |) + C$

Этап 13

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$ .

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + y - \ln (| y |) + C$

Этап 14

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$f (x, y) = 4 x + \frac{x^{3}}{3} + y - \ln (| y |) + C$