Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = {(\frac{e^{t}}{y})}^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{e^{t}}{y}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{{(e^{t})}^{2}}{y^{2}}$

Этап 1.1.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{t})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{e^{t \cdot 2}}{y^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Перенесем $2$ влево от $t$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{e^{2 t}}{y^{2}}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d t} = y^{2} \frac{e^{2 t}}{y^{2}}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} \frac{d y}{d t} = y^{2} \frac{e^{2 t}}{y^{2}}$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} \frac{d y}{d t} = e^{2 t}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$y^{2} d y = e^{2 t} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{2} d y = \int e^{2 t} d t$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int e^{2 t} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = 2 t$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = 2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 2.3.1.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.3.1.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 2.3.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $2 t$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{2} e^{2 t} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{2} e^{2 t} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{2 t} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{2 t} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{2 t} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $3 (\frac{1}{2} e^{2 t} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 t}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{e^{2 t}}{2} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 \frac{e^{2 t}}{2} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3

Объединим $3$ и $\frac{e^{2 t}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{3 e^{2 t}}{2} + 3 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 e^{2 t}}{2} + 3 K}$

Этап 3.4

Упростим $\sqrt[3]{\frac{3 e^{2 t}}{2} + 3 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $\frac{3 e^{2 t}}{2} + 3 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $\frac{3 e^{2 t}}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{2 t}}{2} + 3 K}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{2 t}}{2} + 3 K}$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 \frac{e^{2 t}}{2} + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{2 t}}{2} + K)}$

Этап 3.4.2

Чтобы записать $K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{2 t}}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}$

Этап 3.4.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Объединим $K$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{2 t}}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}$

Этап 3.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{2 t} + K \cdot 2}{2}}$

Этап 3.4.4

Перенесем $2$ влево от $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{2 t} + 2 K}{2}}$

Этап 3.4.5

Объединим $3$ и $\frac{e^{2 t} + 2 K}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (e^{2 t} + 2 K)}{2}}$

Этап 3.4.6

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{3 (e^{2 t} + 2 K)}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$

Этап 3.4.7

Умножим $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 3.4.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 3.4.8.2

Возведем $\sqrt[3]{2}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 3.4.8.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Этап 3.4.8.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Этап 3.4.8.5

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2}$ в виде $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.4.8.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.4.8.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.8.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.8.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Этап 3.4.8.5.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Этап 3.4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.9.1

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Этап 3.4.9.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} \sqrt[3]{4}}{2}$

Этап 3.4.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K) \cdot 4}}{2}$

Этап 3.4.10.2

Умножим $4$ на $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (e^{2 t} + 2 K)}}{2}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (e^{2 t} + K)}}{2}$