Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{3 x}}{6 y^{5}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y^{5}$ .

$y^{5} \frac{d y}{d x} = y^{5} \frac{e^{3 x}}{6 y^{5}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y^{5}$ из $6 y^{5}$ .

$y^{5} \frac{d y}{d x} = y^{5} \frac{e^{3 x}}{y^{5} \cdot 6}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$y^{5} \frac{d y}{d x} = y^{5} \frac{e^{3 x}}{y^{5} \cdot 6}$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$y^{5} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{3 x}}{6}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y^{5} d y = \frac{e^{3 x}}{6} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{5} d y = \int \frac{e^{3 x}}{6} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y^{5}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{6} y^{6}$ .

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} = \int \frac{e^{3 x}}{6} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} = \frac{1}{6} \int e^{3 x} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 2.3.2.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 2.3.2.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} = \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Этап 2.3.3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} = \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} = \frac{1}{6} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} = \frac{1}{3 \cdot 6} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.5.2

Умножим $3$ на $6$ .

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} = \frac{1}{18} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} = \frac{1}{18} (e^{u} + C_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} = \frac{1}{18} e^{u} + C_{2}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} = \frac{1}{18} e^{3 x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{6} y^{6} = \frac{1}{18} e^{3 x} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $6$ .

$6 (\frac{1}{6} y^{6}) = 6 (\frac{1}{18} e^{3 x} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $6 (\frac{1}{6} y^{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $y^{6}$ .

$6 \frac{y^{6}}{6} = 6 (\frac{1}{18} e^{3 x} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$6 \frac{y^{6}}{6} = 6 (\frac{1}{18} e^{3 x} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{6} = 6 (\frac{1}{18} e^{3 x} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $6 (\frac{1}{18} e^{3 x} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{18}$ и $e^{3 x}$ .

$y^{6} = 6 (\frac{e^{3 x}}{18} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{6} = 6 \frac{e^{3 x}}{18} + 6 K$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Вынесем множитель $6$ из $18$ .

$y^{6} = 6 \frac{e^{3 x}}{6 (3)} + 6 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$y^{6} = 6 \frac{e^{3 x}}{6 \cdot 3} + 6 K$

Этап 3.2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$y^{6} = \frac{e^{3 x}}{3} + 6 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt[6]{\frac{e^{3 x}}{3} + 6 K}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt[6]{\frac{e^{3 x}}{3} + 6 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы записать $6 K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[6]{\frac{e^{3 x}}{3} + 6 K \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 3.4.2

Объединим $6 K$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[6]{\frac{e^{3 x}}{3} + \frac{6 K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt[6]{\frac{e^{3 x} + 6 K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.4

Умножим $3$ на $6$ .

$y = \pm \sqrt[6]{\frac{e^{3 x} + 18 K}{3}}$

Этап 3.4.5

Перепишем $\sqrt[6]{\frac{e^{3 x} + 18 K}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt[6]{e^{3 x} + 18 K}}{\sqrt[6]{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[6]{e^{3 x} + 18 K}}{\sqrt[6]{3}}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt[6]{e^{3 x} + 18 K}}{\sqrt[6]{3}}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt[6]{e^{3 x} + 18 K}}{\sqrt[6]{3}}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt[6]{e^{3 x} + 18 K}}{\sqrt[6]{3}}$

$y = - \frac{\sqrt[6]{e^{3 x} + 18 K}}{\sqrt[6]{3}}$

$y = \frac{\sqrt[6]{e^{3 x} + 18 K}}{\sqrt[6]{3}}$

$y = - \frac{\sqrt[6]{e^{3 x} + 18 K}}{\sqrt[6]{3}}$

$y = \frac{\sqrt[6]{e^{3 x} + 18 K}}{\sqrt[6]{3}}$

$y = - \frac{\sqrt[6]{e^{3 x} + 18 K}}{\sqrt[6]{3}}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt[6]{e^{3 x} + K}}{\sqrt[6]{3}}$

$y = - \frac{\sqrt[6]{e^{3 x} + K}}{\sqrt[6]{3}}$