Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} = y + 2 \sqrt{x y}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = y + 2 \sqrt{x y}$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = y + 2 \sqrt{x y}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{2 \sqrt{x y}}{x}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{2 \sqrt{x y}}{x}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{2 \sqrt{x y}}{x}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2$ из $\frac{2 \sqrt{x y}}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 \frac{\sqrt{x y}}{x}$

Этап 1.3

Предположим, что $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 \frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x^{2}}}$

Этап 1.4

Объединим $\sqrt{x y}$ и $\sqrt{x^{2}}$ под одним знаком корня.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 \sqrt{\frac{x y}{x^{2}}}$

Этап 1.5

Сократим выражение $\frac{x y}{x^{2}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 \sqrt{\frac{x (y)}{x^{2}}}$

Этап 1.5.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 \sqrt{\frac{x (y)}{x \cdot x}}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 \sqrt{\frac{x y}{x \cdot x}}$

Этап 1.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 \sqrt{\frac{y}{x}}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + 2 \sqrt{V}$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2 \sqrt{V}$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 \sqrt{V} - V$

Этап 6.1.1.1.2

Объединим противоположные члены в $V + 2 \sqrt{V} - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.2.1

Вычтем $V$ из $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + 2 \sqrt{V}$

Этап 6.1.1.1.2.2

Добавим $0$ и $2 \sqrt{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2 \sqrt{V}$

Этап 6.1.1.2

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = 2 \sqrt{V}$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = 2 \sqrt{V}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 \sqrt{V}}{x}$

Этап 6.1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 \sqrt{V}}{x}$

Этап 6.1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 \sqrt{V}}{x}$

Этап 6.1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{\sqrt{V}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{2 \sqrt{V}}{x}$

Этап 6.1.3

Сократим общий множитель $\sqrt{V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Вынесем множитель $\sqrt{V}$ из $2 \sqrt{V}$ .

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V} \cdot 2}{x}$

Этап 6.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V} \cdot 2}{x}$

Этап 6.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

Этап 6.1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\sqrt{V}} d V = \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\sqrt{V}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{V}$ в виде $V^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{V^{\frac{1}{2}}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.2.1.2

Вынесем $V^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.2.1.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int V^{\frac{- 1}{2}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.2.1.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int V^{- \frac{1}{2}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

По правилу степени интеграл $V^{- \frac{1}{2}}$ по $V$ имеет вид $2 V^{\frac{1}{2}}$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 6.2.3.3

Упростим.

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$

Этап 6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $2 V^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Разделим каждый член $2 V^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$ на $2$ .

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Этап 6.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Этап 6.3.1.2.2

Разделим $V^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Этап 6.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Сократим общий множитель.

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Этап 6.3.1.3.1.2

Разделим $\ln (| x |)$ на $1$ .

$V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

Этап 6.3.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Этап 6.3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Упростим ${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Перемножим экспоненты в ${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Этап 6.3.3.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Этап 6.3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$V^{1} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Этап 6.3.3.1.2

Упростим.

$V = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Этап 6.4

Упростим постоянную интегрирования.

$V = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = {(\ln (| x |) + C)}^{2} x$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = {(\ln (| x |) + C)}^{2} x$

Этап 8.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = {(\ln (| x |) + C)}^{2} x$

Этап 8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Изменим порядок множителей в ${(\ln (| x |) + C)}^{2} x$ .

$y = x {(\ln (| x |) + C)}^{2}$