Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - 1}{y^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{2 x - 1}{y^{2}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{2 x - 1}{y^{2}}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = 2 x - 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y^{2} d y = (2 x - 1) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{2} d y = \int 2 x - 1 d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int 2 x - 1 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x^{2} - x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = x^{2} - x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (x^{2} - x + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x^{2} - x + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x^{2} - x + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 3 (x^{2} - x + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $3 (x^{2} - x + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 x^{2} + 3 (- x) + 3 K$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y^{3} = 3 x^{2} - 3 x + 3 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{3 x^{2} - 3 x + 3 K}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} - 3 x + 3 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{2}) - 3 x + 3 K}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{2}) + 3 (- x) + 3 K}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2}) + 3 (- x)$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{2} - x) + 3 K}$

Этап 3.4.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} - x) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{2} - x + K)}$