Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{e^{3 x}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = - \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int - \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Этап 2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Поменяем знак экспоненты $e^{3 x}$ и вынесем ее из знаменателя.

$y + C_{1} = - \int 1 {(e^{3 x})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{3 x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \int 1 e^{3 x \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y + C_{1} = - \int 1 e^{- 3 x} d x$

Этап 2.3.2.2.2

Умножим $e^{- 3 x}$ на $1$ .

$y + C_{1} = - \int e^{- 3 x} d x$

Этап 2.3.3

Пусть $u = - 3 x$ . Тогда $d u = - 3 d x$ , следовательно $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Пусть $u = - 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Дифференцируем $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 2.3.3.1.2

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Этап 2.3.3.1.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3$

Этап 2.3.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = - \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

Этап 2.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = - \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Этап 2.3.4.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = - \int - \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - - \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 2.3.6.2

Умножим $\int \frac{e^{u}}{3} d u$ на $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 2.3.7

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2})$

Этап 2.3.9

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} + C_{2}$

Этап 2.3.10

Заменим все вхождения $u$ на $- 3 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{- 3 x} + K$