Математический анализ Примеры

$(y^{2} + 3) d x + (2 x y - 4) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} + 3]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $y^{2} + 3$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Этап 1.5

Добавим $2 y$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 2 x y - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y - 4]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $2 x y - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 x y$ по $x$ равна $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $2 y$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 2 y$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$2 y = 2 y$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} + 3 d x$

Этап 5

Проинтегрируем $M (x, y) = y^{2} + 3$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int y^{2} d x + \int 3 d x$

Этап 5.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = y^{2} x + C + \int 3 d x$

Этап 5.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = y^{2} x + C + 3 x + C$

Этап 5.4

Упростим.

$f (x, y) = y^{2} x + 3 x + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} x + 3 x + g (y)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y - 4$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x + 3 x + g (y)] = 2 x y - 4$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $y^{2} x + 3 x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y - 4$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $y^{2} x$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y - 4$

Этап 8.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (2 y) + \frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y - 4$

Этап 8.3.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$2 x y + \frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y - 4$

Этап 8.4

Поскольку $3 x$ является константой относительно $y$ , производная $3 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$2 x y + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y - 4$

Этап 8.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x y + 0 + \frac{d g}{d y} = 2 x y - 4$

Этап 8.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Добавим $2 x y$ и $0$ .

$2 x y + \frac{d g}{d y} = 2 x y - 4$

Этап 8.6.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = 2 x y - 4$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - 4 - 2 x y$

Этап 9.1.2

Объединим противоположные члены в $2 x y - 4 - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем $2 x y$ из $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 - 4$

Этап 9.1.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4$

Этап 10

Найдем первообразную $- 4$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = - 4$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 4 d y$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 4 d y$

Этап 10.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (y) = - 4 y + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = y^{2} x + 3 x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} x + 3 x - 4 y + C$