Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 \sqrt{x}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 \sqrt{x}}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 \sqrt{x}}$

Этап 1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Этап 1.2.2

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Этап 1.2.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x}}$

Этап 1.2.3.2

Перенесем $\sqrt{x}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

Этап 1.2.3.3

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Этап 1.2.3.4

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Этап 1.2.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Этап 1.2.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 1.2.3.7

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.3.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2.3.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.3.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.3.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{1}}$

Этап 1.2.3.7.5

Упростим.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Этап 2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Этап 2.3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.3.2.2.2

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.3.2.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.3.2.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.3.2.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Этап 2.3.2.2.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.3.2.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.2.3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.2.3.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 2.3.2.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ в виде $\frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.3

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y |) = x^{\frac{1}{2}} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + C} = | y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$ .

$| y | = e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$

Этап 3.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$ в виде $e^{x^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x^{\frac{1}{2}}} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{x^{\frac{1}{2}}}$