Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = - \frac{y^{2}}{x}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Добавим $\frac{y^{2}}{x}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{x} = 0$

Этап 1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d y}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Добавим $\frac{y}{x}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y^{2}}{x} = \frac{y}{x}$

Этап 1.1.2.2

Вычтем $\frac{y^{2}}{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - \frac{y^{2}}{x}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - y^{2}}{x}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} - y^{2}}{x}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 - y^{2}}{x}$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 + y (- y)}{x}$

Этап 1.2.2.4

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y (- y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (1 - y)}{x}$

Этап 1.2.2.5

Умножим $y$ на $1 - y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - y)}{x}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y (1 - y)}$ .

$\frac{1}{y (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (1 - y)} \cdot \frac{y (1 - y)}{x}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $y (1 - y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (1 - y)} \cdot \frac{y (1 - y)}{x}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y (1 - y)} d y = \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y (1 - y)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{1 - y}$

Этап 2.2.1.1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $y (1 - y)$ .

$\frac{1 (y (1 - y))}{y (1 - y)} = \frac{A (y (1 - y))}{y} + \frac{(B) (y (1 - y))}{1 - y}$

Этап 2.2.1.1.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (y (1 - y))}{y (1 - y)} = \frac{A (y (1 - y))}{y} + \frac{(B) (y (1 - y))}{1 - y}$

Этап 2.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (1 - y)}{1 - y} = \frac{A (y (1 - y))}{y} + \frac{(B) (y (1 - y))}{1 - y}$

Этап 2.2.1.1.4

Сократим общий множитель $1 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (1 - y)}{1 - y} = \frac{A (y (1 - y))}{y} + \frac{(B) (y (1 - y))}{1 - y}$

Этап 2.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (y (1 - y))}{y} + \frac{(B) (y (1 - y))}{1 - y}$

Этап 2.2.1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (y (1 - y))}{y} + \frac{(B) (y (1 - y))}{1 - y}$

Этап 2.2.1.1.5.1.2

Разделим $A (1 - y)$ на $1$ .

$1 = A (1 - y) + \frac{(B) (y (1 - y))}{1 - y}$

Этап 2.2.1.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A \cdot 1 + A (- y) + \frac{(B) (y (1 - y))}{1 - y}$

Этап 2.2.1.1.5.3

Умножим $A$ на $1$ .

$1 = A + A (- y) + \frac{(B) (y (1 - y))}{1 - y}$

Этап 2.2.1.1.5.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = A - A y + \frac{(B) (y (1 - y))}{1 - y}$

Этап 2.2.1.1.5.5

Сократим общий множитель $1 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = A - A y + \frac{B (y (1 - y))}{1 - y}$

Этап 2.2.1.1.5.5.2

Разделим $(B) (y)$ на $1$ .

$1 = A - A y + (B) (y)$

$1 = A - A y + B y$

Этап 2.2.1.1.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.1

Перенесем $A$ .

$1 = A - y A + B y$

Этап 2.2.1.1.6.2

Изменим порядок $B$ и $y$ .

$1 = A - y A + B y$

Этап 2.2.1.1.6.3

Перенесем $A$ .

$1 = - y A + B y + A$

Этап 2.2.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $y$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.2.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $y$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A$

Этап 2.2.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A$

Этап 2.2.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Перепишем уравнение в виде $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.2.1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = - 1 A + B$ на $1$ .

$0 = - 1 \cdot 1 + B$

$A = 1$

Этап 2.2.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

Этап 2.2.1.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - 1 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = 1$

Этап 2.2.1.3.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

Этап 2.2.1.3.4

Решим систему уравнений.

$B = 1 A = 1$

Этап 2.2.1.3.5

Перечислим все решения.

$B = 1, A = 1$

Этап 2.2.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{y} + \frac{B}{1 - y}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{1}{y} + \frac{1}{1 - y}$

Этап 2.2.1.5

Удалим ноль из выражения.

$\int \frac{1}{y} + \frac{1}{1 - y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{1}{1 - y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.3

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int \frac{1}{1 - y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.4

Пусть $u = 1 - y$ . Тогда $d u = - d y$ , следовательно $- d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Пусть $u = 1 - y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.4.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.7

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.8

Упростим.

$\ln (| y |) - \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.9

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| u |}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.10

Заменим все вхождения $u$ на $1 - y$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 1 - y |}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 1 - y |}) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 1 - y |}) = \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (\frac{| y |}{| 1 - y |}) - \ln (| x |) = C$

Этап 3.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{| y |}{| 1 - y |}}{| x |}) = C$

Этап 3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (\frac{| y |}{| 1 - y |} \cdot \frac{1}{| x |}) = C$

Этап 3.4

Умножим $\frac{| y |}{| 1 - y |} \cdot \frac{1}{| x |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $\frac{| y |}{| 1 - y |}$ на $\frac{1}{| x |}$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 1 - y | | x |}) = C$

Этап 3.4.2

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (\frac{| y |}{| (1 - y) x |}) = C$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (\frac{| y |}{| 1 x - y x |}) = C$

Этап 3.5.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x - y x |}) = C$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x - y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x - y x |}) = C$

Этап 3.5.3.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x \cdot 1 - y x |}) = C$

Этап 3.5.3.3

Вынесем множитель $x$ из $- y x$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x \cdot 1 + x (- y) |}) = C$

Этап 3.5.3.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- y)$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x (1 - y) |}) = C$

Этап 3.6

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x (1 - y) |})} = e^{C}$

Этап 3.7

Перепишем $\ln (\frac{| y |}{| x (1 - y) |}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| x (1 - y) |}$

Этап 3.8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y |}{| x (1 - y) |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| x (1 - y) |} = e^{C}$

Этап 3.8.2

Умножим обе части на $| x (1 - y) |$ .

$\frac{| y |}{| x (1 - y) |} | x (1 - y) | = e^{C} | x (1 - y) |$

Этап 3.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1.1

Сократим общий множитель $| x (1 - y) |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y |}{| x (1 - y) |} | x (1 - y) | = e^{C} | x (1 - y) |$

Этап 3.8.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | = e^{C} | x (1 - y) |$

Этап 3.8.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.2.1

Упростим $e^{C} | x (1 - y) |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$| y | = e^{C} | x \cdot 1 + x (- y) |$

Этап 3.8.3.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.2.1.2.1

Умножим $x$ на $1$ .

$| y | = e^{C} | x + x (- y) |$

Этап 3.8.3.2.1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$| y | = e^{C} | x - x y |$

Этап 3.8.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.1

Перепишем уравнение в виде $e^{C} | x - x y | = | y |$ .

$e^{C} | x - x y | = | y |$

Этап 3.8.4.2

Разделим каждый член $e^{C} | x - x y | = | y |$ на $e^{C}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.2.1

Разделим каждый член $e^{C} | x - x y | = | y |$ на $e^{C}$ .

$\frac{e^{C} | x - x y |}{e^{C}} = \frac{| y |}{e^{C}}$

Этап 3.8.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{C} | x - x y |}{e^{C}} = \frac{| y |}{e^{C}}$

Этап 3.8.4.2.2.1.2

Разделим $| x - x y |$ на $1$ .

$| x - x y | = \frac{| y |}{e^{C}}$

Этап 3.8.4.3

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$x - x y = \frac{y}{e^{C}}$

$x - x y = - \frac{y}{e^{C}}$

$- (x - x y) = \frac{y}{e^{C}}$

$- (x - x y) = - \frac{y}{e^{C}}$

Этап 3.8.4.4

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$x - x y = \frac{y}{e^{C}}$

$x - x y = - \frac{y}{e^{C}}$

Этап 3.8.4.5

Решим $x - x y = \frac{y}{e^{C}}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.1

Умножим обе части на $e^{C}$ .

$(x - x y) e^{C} = \frac{y}{e^{C}} e^{C}$

Этап 3.8.4.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.2.1.1

Упростим $(x - x y) e^{C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x e^{C} - x y e^{C} = \frac{y}{e^{C}} e^{C}$

Этап 3.8.4.5.2.1.1.2

Изменим порядок $x e^{C}$ и $- x y e^{C}$ .

$- x y e^{C} + x e^{C} = \frac{y}{e^{C}} e^{C}$

Этап 3.8.4.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$- x y e^{C} + x e^{C} = \frac{y}{e^{C}} e^{C}$

Этап 3.8.4.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$- x y e^{C} + x e^{C} = y$

Этап 3.8.4.5.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.3.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$- x y e^{C} + x e^{C} - y = 0$

Этап 3.8.4.5.3.2

Вычтем $x e^{C}$ из обеих частей уравнения.

$- x y e^{C} - y = - x e^{C}$

Этап 3.8.4.5.3.3

Вынесем множитель $y$ из $- x y e^{C} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $- x y e^{C}$ .

$y (- x e^{C}) - y = - x e^{C}$

Этап 3.8.4.5.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y (- x e^{C}) + y \cdot - 1 = - x e^{C}$

Этап 3.8.4.5.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- x e^{C}) + y \cdot - 1$ .

$y (- x e^{C} - 1) = - x e^{C}$

Этап 3.8.4.5.3.4

Разделим каждый член $y (- x e^{C} - 1) = - x e^{C}$ на $- x e^{C} - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.3.4.1

Разделим каждый член $y (- x e^{C} - 1) = - x e^{C}$ на $- x e^{C} - 1$ .

$\frac{y (- x e^{C} - 1)}{- x e^{C} - 1} = \frac{- x e^{C}}{- x e^{C} - 1}$

Этап 3.8.4.5.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.3.4.2.1

Сократим общий множитель $- x e^{C} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (- x e^{C} - 1)}{- x e^{C} - 1} = \frac{- x e^{C}}{- x e^{C} - 1}$

Этап 3.8.4.5.3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- x e^{C}}{- x e^{C} - 1}$

Этап 3.8.4.5.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.3.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x e^{C}}{- x e^{C} - 1}$

Этап 3.8.4.5.3.4.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x e^{C}$ .

$y = - \frac{x e^{C}}{- (x e^{C}) - 1}$

Этап 3.8.4.5.3.4.3.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y = - \frac{x e^{C}}{- (x e^{C}) - 1 (1)}$

Этап 3.8.4.5.3.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x e^{C}) - 1 (1)$ .

$y = - \frac{x e^{C}}{- (x e^{C} + 1)}$

Этап 3.8.4.5.3.4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.3.4.3.5.1

Перепишем $- (x e^{C} + 1)$ в виде $- 1 (x e^{C} + 1)$ .

$y = - \frac{x e^{C}}{- 1 (x e^{C} + 1)}$

Этап 3.8.4.5.3.4.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - - \frac{x e^{C}}{x e^{C} + 1}$

Этап 3.8.4.5.3.4.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 1 \frac{x e^{C}}{x e^{C} + 1}$

Этап 3.8.4.5.3.4.3.5.4

Умножим $\frac{x e^{C}}{x e^{C} + 1}$ на $1$ .

$y = \frac{x e^{C}}{x e^{C} + 1}$

Этап 3.8.4.6

Решим $x - x y = - \frac{y}{e^{C}}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.6.1

Умножим обе части на $e^{C}$ .

$(x - x y) e^{C} = - \frac{y}{e^{C}} e^{C}$

Этап 3.8.4.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.6.2.1.1

Упростим $(x - x y) e^{C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.6.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x e^{C} - x y e^{C} = - \frac{y}{e^{C}} e^{C}$

Этап 3.8.4.6.2.1.1.2

Изменим порядок $x e^{C}$ и $- x y e^{C}$ .

$- x y e^{C} + x e^{C} = - \frac{y}{e^{C}} e^{C}$

Этап 3.8.4.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.6.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.6.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{e^{C}}$ в числитель.

$- x y e^{C} + x e^{C} = \frac{- y}{e^{C}} e^{C}$

Этап 3.8.4.6.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$- x y e^{C} + x e^{C} = \frac{- y}{e^{C}} e^{C}$

Этап 3.8.4.6.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- x y e^{C} + x e^{C} = - y$

Этап 3.8.4.6.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.6.3.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$- x y e^{C} + x e^{C} + y = 0$

Этап 3.8.4.6.3.2

Вычтем $x e^{C}$ из обеих частей уравнения.

$- x y e^{C} + y = - x e^{C}$

Этап 3.8.4.6.3.3

Вынесем множитель $y$ из $- x y e^{C} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.6.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $- x y e^{C}$ .

$y (- x e^{C}) + y = - x e^{C}$

Этап 3.8.4.6.3.3.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y (- x e^{C}) + y = - x e^{C}$

Этап 3.8.4.6.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y (- x e^{C}) + y \cdot 1 = - x e^{C}$

Этап 3.8.4.6.3.3.4

Вынесем множитель $y$ из $y (- x e^{C}) + y \cdot 1$ .

$y (- x e^{C} + 1) = - x e^{C}$

Этап 3.8.4.6.3.4

Разделим каждый член $y (- x e^{C} + 1) = - x e^{C}$ на $- x e^{C} + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.6.3.4.1

Разделим каждый член $y (- x e^{C} + 1) = - x e^{C}$ на $- x e^{C} + 1$ .

$\frac{y (- x e^{C} + 1)}{- x e^{C} + 1} = \frac{- x e^{C}}{- x e^{C} + 1}$

Этап 3.8.4.6.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.6.3.4.2.1

Сократим общий множитель $- x e^{C} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.6.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (- x e^{C} + 1)}{- x e^{C} + 1} = \frac{- x e^{C}}{- x e^{C} + 1}$

Этап 3.8.4.6.3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- x e^{C}}{- x e^{C} + 1}$

Этап 3.8.4.6.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.6.3.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x e^{C}}{- x e^{C} + 1}$

Этап 3.8.4.6.3.4.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x e^{C}$ .

$y = - \frac{x e^{C}}{- (x e^{C}) + 1}$

Этап 3.8.4.6.3.4.3.3

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$y = - \frac{x e^{C}}{- (x e^{C}) - 1 (- 1)}$

Этап 3.8.4.6.3.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x e^{C}) - 1 (- 1)$ .

$y = - \frac{x e^{C}}{- (x e^{C} - 1)}$

Этап 3.8.4.6.3.4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.6.3.4.3.5.1

Перепишем $- (x e^{C} - 1)$ в виде $- 1 (x e^{C} - 1)$ .

$y = - \frac{x e^{C}}{- 1 (x e^{C} - 1)}$

Этап 3.8.4.6.3.4.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - - \frac{x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

Этап 3.8.4.6.3.4.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 1 \frac{x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

Этап 3.8.4.6.3.4.3.5.4

Умножим $\frac{x e^{C}}{x e^{C} - 1}$ на $1$ .

$y = \frac{x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

Этап 3.8.4.7

Перечислим все решения.

$y = \frac{x e^{C}}{x e^{C} + 1}$

$y = \frac{x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

$y = \frac{x e^{C}}{x e^{C} + 1}$

$y = \frac{x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

$y = \frac{x e^{C}}{x e^{C} + 1}$

$y = \frac{x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

$y = \frac{x e^{C}}{x e^{C} + 1}$

$y = \frac{x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{x C}{x C + 1}$

$y = \frac{x C}{x C - 1}$