Математический анализ Примеры

$e^{y} d y - (1 + e^{y}) d x = 0$

Этап 1

Добавим $(1 + e^{y}) d x$ к обеим частям уравнения.

$e^{y} d y = (1 + e^{y}) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{1 + e^{y}}$ .

$\frac{1}{1 + e^{y}} e^{y} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{1 + e^{y}}$ и $e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $1 + e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = 1 d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \int d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Пусть $u = 1 + e^{y}$ . Тогда $d u = e^{y} d y$ , следовательно $\frac{1}{e^{y}} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Пусть $u = 1 + e^{y}$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Дифференцируем $1 + e^{y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + e^{y}]$

Этап 4.2.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + e^{y}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Этап 4.2.1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Этап 4.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ имеет вид $a^{y} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$0 + e^{y}$

Этап 4.2.1.1.4

Добавим $0$ и $e^{y}$ .

$e^{y}$

Этап 4.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Этап 4.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + e^{y}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \int d x$

Этап 4.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = x + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) = x + C$