Математический анализ Примеры

$(4 x y + y^{2}) d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 4 x y + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x y + y^{2}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $4 x y + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [4 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [4 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $4 x$ является константой относительно $y$ , производная $4 x y$ по $y$ равна $4 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 2 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - 2 (x^{2} - y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - y)]$

Этап 2.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 (x^{2} - y)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - y]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $x^{2} - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [- y])$

Этап 2.5

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (2 x + 0)$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (2 x)$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 x$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $4 x + 2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 4 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x + 2 y = - 4 x$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$4 x + 2 y = - 4 x$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 4 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 4 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $4 x + 2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 4 x - (4 x + 2 y)}{M}$

Этап 4.3

Подставим $4 x y + y^{2}$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $4 x y + y^{2}$ вместо $M$ .

$\frac{- 4 x - (4 x + 2 y)}{4 x y + y^{2}}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 4 x - (4 x) - (2 y)}{4 x y + y^{2}}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{- 4 x - 4 x - (2 y)}{4 x y + y^{2}}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 4 x - 4 x - 2 y}{4 x y + y^{2}}$

Этап 4.3.2.4

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$\frac{- 8 x - 2 y}{4 x y + y^{2}}$

Этап 4.3.2.5

Вынесем множитель $2$ из $- 8 x - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8 x$ .

$\frac{2 (- 4 x) - 2 y}{4 x y + y^{2}}$

Этап 4.3.2.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$\frac{2 (- 4 x) + 2 (- y)}{4 x y + y^{2}}$

Этап 4.3.2.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 4 x) + 2 (- y)$ .

$\frac{2 (- 4 x - y)}{4 x y + y^{2}}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $4 x y + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $4 x y$ .

$\frac{2 (- 4 x - y)}{y (4 x) + y^{2}}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{2 (- 4 x - y)}{y (4 x) + y \cdot y}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (4 x) + y \cdot y$ .

$\frac{2 (- 4 x - y)}{y (4 x + y)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $- 4 x - y$ и $4 x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x$ .

$\frac{2 (- (4 x) - y)}{y (4 x + y)}$

Этап 4.3.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$\frac{2 (- (4 x) - (y))}{y (4 x + y)}$

Этап 4.3.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x) - (y)$ .

$\frac{2 (- (4 x + y))}{y (4 x + y)}$

Этап 4.3.4.4

Перепишем $- (4 x + y)$ в виде $- 1 (4 x + y)$ .

$\frac{2 (- 1 (4 x + y))}{y (4 x + y)}$

Этап 4.3.4.5

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 1 (4 x + y))}{y (4 x + y)}$

Этап 4.3.4.6

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Этап 4.3.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Этап 4.3.6

Подставим $4 x y + y^{2}$ вместо $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Этап 5.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 2 \ln (| y |)$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Этап 5.6.3

Уберем знак модуля в ${| y |}^{- 2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Этап 5.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(4 x y + y^{2}) d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $4 x y + y^{2}$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(4 x y + y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $4 x y + y^{2}$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{4 x y + y^{2}}{y^{2}} d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

Этап 6.3

Вынесем множитель $y$ из $4 x y + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $y$ из $4 x y$ .

$\frac{y (4 x) + y^{2}}{y^{2}} d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{y (4 x) + y \cdot y}{y^{2}} d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

Этап 6.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (4 x) + y \cdot y$ .

$\frac{y (4 x + y)}{y^{2}} d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

Этап 6.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{y (4 x + y)}{y \cdot y} d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

Этап 6.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y (4 x + y)}{y \cdot y} d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

Этап 6.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x + y}{y} d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $- 2 (x^{2} - y)$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x - 2 (x^{2} - y) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x + y}{y} d x + (- 2 x^{2} - 2 (- y)) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.7

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + (- 2 x^{2} + 2 y) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.8

Умножим $- 2 x^{2} + 2 y$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + \frac{- 2 x^{2} + 2 y}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.9

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2} + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + \frac{2 (- x^{2}) + 2 y}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.9.2

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + \frac{2 (- x^{2}) + 2 (y)}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.9.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x^{2}) + 2 (y)$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + \frac{2 (- x^{2} + y)}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + \frac{2 (- (x^{2}) + y)}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.11

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + \frac{2 (- (x^{2}) - 1 (- y))}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- y)$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + \frac{2 (- (x^{2} - y))}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.13

Перепишем $- (x^{2} - y)$ в виде $- 1 (x^{2} - y)$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + \frac{2 (- 1 (x^{2} - y))}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4 x + y}{y} d x - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{4 x + y}{y} d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = \frac{4 x + y}{y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$f (x, y) = \int \frac{4 x}{y} + \frac{y}{y} d x$

Этап 8.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int \frac{4 x}{y} d x + \int \frac{y}{y} d x$

Этап 8.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \int \frac{4 x}{y} d x + \int \frac{y}{y} d x$

Этап 8.3.2

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = \int \frac{4 x}{y} d x + \int d x$

Этап 8.4

Поскольку $\frac{4}{y}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{4}{y}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{4}{y} \int x d x + \int d x$

Этап 8.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{4}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

Этап 8.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \frac{4}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Этап 8.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{4}{y} (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

Этап 8.8

Упростим.

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{y \cdot 2} + x + C$

Этап 8.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{2 \cdot y} + x + C$

Этап 8.9.2

Умножим $2$ на $y$ .

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{2 y} + x + C$

Этап 8.9.3

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{2})}{2 y} + x + C$

Этап 8.9.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{2})}{2 (y)} + x + C$

Этап 8.9.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{2})}{2 y} + x + C$

Этап 8.9.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y} + x + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y} + x + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{2}}{y} + x + g (y)] = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{2 x^{2}}{y} + x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{2}}{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $2 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{2 x^{2}}{y}$ по $y$ равна $2 x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$2 x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Этап 11.3.2

Перепишем $\frac{1}{y}$ в виде $y^{- 1}$ .

$2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Этап 11.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Этап 11.3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 x^{2} y^{- 2} + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Этап 11.4

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$- 2 x^{2} y^{- 2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Этап 11.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$- 2 x^{2} y^{- 2} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Этап 11.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 x^{2} \frac{1}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Этап 11.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$x^{2} \frac{- 2}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Этап 11.6.2.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{- 2}{y^{2}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 2}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Этап 11.6.2.3

Перенесем $- 2$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot x^{2}}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Этап 11.6.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x^{2}}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Этап 11.6.2.5

Добавим $- \frac{2 x^{2}}{y^{2}}$ и $0$ .

$- \frac{2 x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Этап 11.6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2 x^{2}}{y^{2}} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Добавим $\frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2 x^{2}}{y^{2}} + \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x^{2} + 2 (x^{2} - y)}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x^{2} + 2 x^{2} + 2 (- y)}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x^{2} + 2 x^{2} - 2 y}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.4

Добавим $- 2 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - 2 y}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5

Вычтем $2 y$ из $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.6.1

Сократим общий множитель $y$ и $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.6.1.1

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 2}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.6.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 2}{y \cdot y} = 0$

Этап 12.1.1.6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 2}{y \cdot y} = 0$

Этап 12.1.1.6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2}{y} = 0$

Этап 12.1.1.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2}{y} = 0$

Этап 12.1.2

Добавим $\frac{2}{y}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$

Этап 13

Найдем первообразную $\frac{2}{y}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2}{y} d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2}{y} d y$

Этап 13.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$g (y) = 2 \int \frac{1}{y} d y$

Этап 13.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 (\ln (| y |) + C)$

Этап 13.5

Упростим.

$g (y) = 2 \ln (| y |) + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y} + x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y} + x + 2 \ln (| y |) + C$

Этап 15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим $2 \ln (| y |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y} + x + \ln ({| y |}^{2}) + C$

Этап 15.2

Уберем знак модуля в ${| y |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y} + x + \ln (y^{2}) + C$