Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{3 + y^{3}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $3 + y^{3}$ .

$(3 + y^{3}) \frac{d y}{d x} = (3 + y^{3}) \frac{x^{3}}{3 + y^{3}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $3 + y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$(3 + y^{3}) \frac{d y}{d x} = (3 + y^{3}) \frac{x^{3}}{3 + y^{3}}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$(3 + y^{3}) \frac{d y}{d x} = x^{3}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$(3 + y^{3}) d y = x^{3} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 3 + y^{3} d y = \int x^{3} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 d y + \int y^{3} d y = \int x^{3} d x$

Этап 2.2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 y + C_{1} + \int y^{3} d y = \int x^{3} d x$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл $y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$3 y + C_{1} + \frac{1}{4} y^{4} + C_{2} = \int x^{3} d x$

Этап 2.2.4

Упростим.

$3 y + \frac{1}{4} y^{4} + C_{3} = \int x^{3} d x$

Этап 2.2.5

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{4} y^{4} + 3 y + C_{3} = \int x^{3} d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + 3 y + C_{3} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + 3 y = \frac{1}{4} x^{4} + K$