Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $2 y + 1$ .

$(2 y + 1) \frac{d y}{d x} = (2 y + 1) \frac{1}{2 y + 1}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $2 y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$(2 y + 1) \frac{d y}{d x} = (2 y + 1) \frac{1}{2 y + 1}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$(2 y + 1) \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$(2 y + 1) d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 2 y + 1 d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 y d y + \int d y = \int d x$

Этап 2.2.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int y d y + \int d y = \int d x$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int d y = \int d x$

Этап 2.2.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + y + C_{2} = \int d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) + y + C_{2} = \int d x$

Этап 2.2.5.2

Упростим.

$y^{2} + y + C_{3} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y^{2} + y + C_{3} = x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y^{2} + y = x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} + y - x = K$

Этап 3.1.2

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} + y - x - K = 0$

Этап 3.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = - x - K$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x - K))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- x - K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- x - K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.4

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x + 4 K}}{2}$

Этап 3.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 K + 4 x + 1}}{2}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 K + 4 x + 1}}{2}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x + K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{K + 4 x + 1}}{2}$