Математический анализ Примеры

$2 x y + 6 x + (x^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x y + 6 x + x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 \frac{d y}{d x} = 0$

Этап 1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d y}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$6 x + x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

Этап 1.1.2.2

Вычтем $6 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 6 x$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 \frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} - 4 \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 6 x$

Этап 1.1.3.2

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $- 4 \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 4 = - 2 x y - 6 x$

Этап 1.1.3.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 4$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 4) = - 2 x y - 6 x$

Этап 1.1.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 2^{2}) = - 2 x y - 6 x$

Этап 1.1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{d y}{d x} ((x + 2) (x - 2)) = - 2 x y - 6 x$

Этап 1.1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{d y}{d x} (x + 2) (x - 2) = - 2 x y - 6 x$

Этап 1.1.6

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (x + 2) (x - 2) = - 2 x y - 6 x$ на $(x + 2) (x - 2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (x + 2) (x - 2) = - 2 x y - 6 x$ на $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.1.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.2.1

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.1.6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.1.6.2.2

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.1.6.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.1.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.1.6.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)}) - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)}) - (\frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)})$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)}) - (\frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)})$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)})$

Этап 1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y + 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x y + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x (y) + 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.2.3.2

Вынесем множитель $2 x$ из $6 x$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x (y) + 2 x (3)}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.2.3.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (y) + 2 x (3)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x (y + 3)}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} (y + 3)$

Этап 1.4

Умножим обе части на $\frac{1}{y + 3}$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} (- \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} (y + 3))$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y + 3} (\frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} (y + 3))$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y + 3}$ в числитель.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 3} (\frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} (y + 3))$

Этап 1.5.2.2

Вынесем множитель $y + 3$ из $\frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} (y + 3)$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 3} ((y + 3) \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)})$

Этап 1.5.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 3} ((y + 3) \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)})$

Этап 1.5.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y + 3} d y = - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = y + 3$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = y + 3$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y + 3$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y + 3$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{(x + 2) (x - 2)} d x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Этап 2.3.4

Пусть $u_{2} = (x + 2) (x - 2)$ . Тогда $d u_{2} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Пусть $u_{2} = (x + 2) (x - 2)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Дифференцируем $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 2) (x - 2)]$

Этап 2.3.4.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 2$ и $g (x) = x - 2$ .

$(x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 2.3.4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.3.1

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 2.3.4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 2.3.4.1.3.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 2.3.4.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 2.3.4.1.3.4.2

Умножим $x + 2$ на $1$ .

$x + 2 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 2.3.4.1.3.5

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$x + 2 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 2.3.4.1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x + 2 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 2.3.4.1.3.7

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$x + 2 + (x - 2) (1 + 0)$

Этап 2.3.4.1.3.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.3.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x + 2 + (x - 2) \cdot 1$

Этап 2.3.4.1.3.8.2

Умножим $x - 2$ на $1$ .

$x + 2 + x - 2$

Этап 2.3.4.1.3.8.3

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x + 2 - 2$

Этап 2.3.4.1.3.8.4

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.3.8.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$2 x + 0$

Этап 2.3.4.1.3.8.4.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 2.3.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 2.3.5.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 2$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.7.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.7.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.8

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 2.3.9

Упростим.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 2.3.10

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $(x + 2) (x - 2)$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - \ln (| (x + 2) (x - 2) |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y + 3 |) = - \ln (| (x + 2) (x - 2) |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y + 3 |) + \ln (| (x + 2) (x - 2) |) = C$

Этап 3.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 3 | | (x + 2) (x - 2) |) = C$

Этап 3.3

Развернем $(x + 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y + 3 | | x (x - 2) + 2 (x - 2) |) = C$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y + 3 | | x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) |) = C$

Этап 3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y + 3 | | x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 |) = C$

Этап 3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 2$ и $2 x$ .

$\ln (| y + 3 | | x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 |) = C$

Этап 3.4.1.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\ln (| y + 3 | | x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 |) = C$

Этап 3.4.1.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$\ln (| y + 3 | | x \cdot x + 2 \cdot - 2 |) = C$

Этап 3.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (| y + 3 | | x^{2} + 2 \cdot - 2 |) = C$

Этап 3.4.2.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\ln (| y + 3 | | x^{2} - 4 |) = C$

Этап 3.5

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (| (y + 3) (x^{2} - 4) |) = C$

Этап 3.6

Развернем $(y + 3) (x^{2} - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y (x^{2} - 4) + 3 (x^{2} - 4) |) = C$

Этап 3.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot - 4 + 3 (x^{2} - 4) |) = C$

Этап 3.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot - 4 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 4 |) = C$

Этап 3.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перенесем $- 4$ влево от $y$ .

$\ln (| y x^{2} - 4 \cdot y + 3 x^{2} + 3 \cdot - 4 |) = C$

Этап 3.7.2

Умножим $3$ на $- 4$ .

$\ln (| y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 |) = C$

Этап 3.8

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 |)} = e^{C}$

Этап 3.9

Перепишем $\ln (| y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 |) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 |$

Этап 3.10

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Перепишем уравнение в виде $| y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 | = e^{C}$ .

$| y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 | = e^{C}$

Этап 3.10.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 = \pm e^{C}$

Этап 3.10.3

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y x^{2} - 4 y - 12 = \pm e^{C} - 3 x^{2}$

Этап 3.10.3.2

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$y x^{2} - 4 y = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

Этап 3.10.4

Вынесем множитель $y$ из $y x^{2} - 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.4.1

Вынесем множитель $y$ из $y x^{2}$ .

$y (x^{2}) - 4 y = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

Этап 3.10.4.2

Вынесем множитель $y$ из $- 4 y$ .

$y (x^{2}) + y \cdot - 4 = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

Этап 3.10.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x^{2}) + y \cdot - 4$ .

$y (x^{2} - 4) = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

Этап 3.10.5

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y (x^{2} - 2^{2}) = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

Этап 3.10.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.6.1

$y ((x + 2) (x - 2)) = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

Этап 3.10.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$y (x + 2) (x - 2) = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

Этап 3.10.7

Разделим каждый член $y (x + 2) (x - 2) = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$ на $(x + 2) (x - 2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.7.1

Разделим каждый член $y (x + 2) (x - 2) = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$ на $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{y (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.10.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.7.2.1

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.10.7.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.10.7.2.2

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.10.7.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 3.10.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.7.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{\pm e^{C}}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{C}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$