Математический анализ Примеры

$(x \sin (x) + 1) d y + (y \sin (x) + x y \cos (x)) d x = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$(y \sin (x) + x y \cos (x)) d x + (x \sin (x) + 1) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y \sin (x) + x y \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \sin (x) + x y \cos (x)]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $y \sin (x) + x y \cos (x)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y \sin (x)] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \sin (x)] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\sin (x)$ является константой относительно $y$ , производная $y \sin (x)$ по $y$ равна $\sin (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Этап 2.3.3

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $x \cos (x)$ является константой относительно $y$ , производная $x y \cos (x)$ по $y$ равна $x \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x) \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x)$

Этап 2.5

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cos (x) + \sin (x)$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x \sin (x) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x \sin (x) + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.3.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $x \cos (x) + \sin (x)$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x)$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $x \cos (x) + \sin (x)$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $x \cos (x) + \sin (x)$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x \cos (x) + \sin (x) = x \cos (x) + \sin (x)$

Этап 4.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$x \cos (x) + \sin (x) = x \cos (x) + \sin (x)$ является тождеством.

Этап 5

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \sin (x) + 1 d y$

Этап 6

Проинтегрируем $N (x, y) = x \sin (x) + 1$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$

Этап 7

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + g (x)$

Этап 8

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Этап 9

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y + g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Этап 9.2

По правилу суммы производная $(x \sin (x) + 1) y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Этап 9.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $(x \sin (x) + 1) y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1]$ .

$y \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Этап 9.3.2

По правилу суммы производная $x \sin (x) + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Этап 9.3.3

$y (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Этап 9.3.4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Этап 9.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Этап 9.3.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Этап 9.3.7

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Этап 9.3.8

Добавим $x \cos (x) + \sin (x)$ и $0$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Этап 9.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Этап 9.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y (x \cos (x)) + y \sin (x) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Этап 9.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + x y \cos (x) + y \sin (x) = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Этап 10

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Вычтем $x y \cos (x)$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + y \sin (x) = y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x)$

Этап 10.1.2

Вычтем $y \sin (x)$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

Этап 10.1.3

Объединим противоположные члены в $y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.3.1

Вычтем $x y \cos (x)$ из $x y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) + 0 - y \sin (x)$

Этап 10.1.3.2

Добавим $y \sin (x)$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - y \sin (x)$

Этап 10.1.3.3

Вычтем $y \sin (x)$ из $y \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Этап 11

Найдем первообразную $0$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Этап 11.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Этап 11.3

Интеграл $0$ по $x$ имеет вид $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Этап 11.4

Добавим $0$ и $C$ .

$g (x) = C$

Этап 12

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$

Этап 13

Упростим $f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = x \sin (x) y + 1 y + C$

Этап 13.1.2

Умножим $y$ на $1$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + y + C$

Этап 13.2

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = x \sin (x) y + y + C$ .

$f (x, y) = x y \sin (x) + y + C$