Математический анализ Примеры

$(y^{2} + 1) d x = (1 + x y) d y$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $(1 + x y) d y$ из обеих частей уравнения.

$(y^{2} + 1) d x - (1 + x y) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $y^{2} + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Этап 2.5

Добавим $2 y$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - (1 + x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 + x y)]$

Этап 3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (1 + x y)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [1 + x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 + x y]$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $1 + x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y])$

Этап 3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [x y])$

Этап 3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.6

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \cdot 1$

Этап 3.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = - y$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$2 y = - y$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 5.2

Подставим $2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- y - (2 y)}{M}$

Этап 5.3

Подставим $y^{2} + 1$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $y^{2} + 1$ вместо $M$ .

$\frac{- y - (2 y)}{y^{2} + 1}$

Этап 5.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- y - 1 \cdot 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$\frac{y \cdot - 1 - 1 \cdot 2 y}{y^{2} + 1}$

Этап 5.3.2.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- 1 \cdot 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 1 + y (- 1 \cdot 2)}{y^{2} + 1}$

Этап 5.3.2.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot - 1 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y (- 1 - 1 \cdot 2)}{y^{2} + 1}$

Этап 5.3.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{y (- 1 - 2)}{y^{2} + 1}$

Этап 5.3.2.3

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$\frac{y \cdot - 3}{y^{2} + 1}$

Этап 5.3.3

Перенесем $- 3$ влево от $y$ .

$\frac{- 3 \cdot y}{y^{2} + 1}$

Этап 5.3.4

Подставим $y^{2} + 1$ вместо $M$ .

$- \frac{3 y}{y^{2} + 1}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3 y}{y^{2} + 1} d y}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{3 y}{y^{2} + 1} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3 y}{y^{2} + 1} d y}$

Этап 6.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{y}{y^{2} + 1} d y)}$

Этап 6.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{y}{y^{2} + 1} d y}$

Этап 6.4

Пусть $u = y^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 y d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Пусть $u = y^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Дифференцируем $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Этап 6.4.1.2

По правилу суммы производная $y^{2} + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 6.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 6.4.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$2 y + 0$

Этап 6.4.1.5

Добавим $2 y$ и $0$ .

$2 y$

Этап 6.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Этап 6.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Этап 6.5.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Этап 6.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Этап 6.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 3$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 6.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 6.8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

Этап 6.9

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| u |)} + C$

Этап 6.10

Заменим все вхождения $u$ на $y^{2} + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)} + C$

Этап 6.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1

Умножим $- \frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1.1

Изменим порядок $\ln (| y^{2} + 1 |)$ и $\frac{3}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))} + C$

Этап 6.11.1.2

Упростим $\frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)$ путем переноса $\frac{3}{2}$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})} + C$

Этап 6.11.2

Упростим $- \ln ({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})} + C$

Этап 6.11.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} + C$

Этап 6.11.4

Перемножим экспоненты в ${({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} + C$

Этап 6.11.4.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.4.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} + C$

Этап 6.11.4.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{\frac{- 3}{2}} + C$

Этап 6.11.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{- \frac{3}{2}} + C$

Этап 6.11.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $(y^{2} + 1) d x - (1 + x y) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $y^{2} + 1$ на $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$(y^{2} + 1) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Этап 7.2

Умножим $y^{2} + 1$ на $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{y^{2} + 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Этап 7.3

Вычтем экспоненту знаменателя из экспоненты числителя с одним и тем же основанием.

${(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{3}{2} \cdot - 1} d x - (1 + x y) d y = 0$

Этап 7.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

${(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{3 \cdot - 1}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Этап 7.4.1.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

${(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{- 3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Этап 7.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

${(y^{2} + 1)}^{1 - \frac{3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Этап 7.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

${(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Этап 7.6

Объединим числители над общим знаменателем.

${(y^{2} + 1)}^{\frac{2 - 3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Этап 7.7

Вычтем $3$ из $2$ .

${(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Этап 7.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Этап 7.9

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Этап 7.10

Умножим $- (1 + x y)$ на $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x - (1 + x y) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Этап 7.11

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + (- 1 \cdot 1 - (x y)) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Этап 7.12

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + (- 1 - (x y)) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Этап 7.13

Умножим $- 1 - x y$ на $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 - x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Этап 7.14

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Этап 7.15

Вынесем множитель $- 1$ из $- x y$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - (x y)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Этап 7.16

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (x y)$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 (1 + x y)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Этап 7.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 9

Проинтегрируем $M (x, y) = \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + C$

Этап 9.2

Объединим $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.2

Перепишем $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [{({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{- 1}$ и $g (y) = {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$x (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y^{2} + 1$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y^{2} + 1$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.5

По правилу суммы производная $y^{2} + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + \frac{d}{d y} [1]))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.8

Перемножим экспоненты в ${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.8.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.9

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.10

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.12.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.12.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.14

Добавим $2 y$ и $0$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 y))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.15

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{{(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 y))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.16

Объединим $2$ и $\frac{{(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{2 {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.17

Объединим $\frac{2 {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $y$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{2 {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} y}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.18

Перенесем ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{2 y}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.19

Сократим общий множитель.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{2 y}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.20

Перепишем это выражение.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.21

Объединим $\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и ${(y^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$x (- \frac{y {(y^{2} + 1)}^{- 1}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.22

Перенесем ${(y^{2} + 1)}^{- 1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (y^{2} + 1)}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.23

Умножим ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $y^{2} + 1$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.23.1

Умножим ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.23.1.1

Возведем $y^{2} + 1$ в степень $1$ .

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{1}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.23.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.23.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.23.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.23.4

Добавим $1$ и $2$ .

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3.24

Объединим $x$ и $\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Добавим $\frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Этап 13.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x y + 1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Этап 13.1.1.3

Объединим противоположные члены в $- x y + 1 + x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.1

Добавим $- x y$ и $x y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Этап 13.1.1.3.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Этап 13.1.2

Вычтем $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 14

Найдем первообразную $- \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y$

Этап 14.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - \int \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y$

Этап 14.4

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(y^{2} + 1)}^{3}}} d y$

Этап 14.5

Пусть $y = \tan (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d y = \sec^{2} (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\sec^{2} (t)$ положительно.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Этап 14.6

Упростим $\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.1

Применим формулу Пифагора.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Этап 14.6.2

Перемножим экспоненты в ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{\sec (t)}^{2 \cdot 3}}} \sec^{2} (t) d t$

Этап 14.6.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{6} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Этап 14.6.3

Перепишем $\sec^{6} (t)$ в виде ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ .

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{3} (t))}^{2}}} \sec^{2} (t) d t$

Этап 14.6.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec^{3} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Этап 14.7

Сократим общий множитель $\sec^{2} (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.1

Вынесем множитель $\sec^{2} (t)$ из $\sec^{3} (t)$ .

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Этап 14.7.2

Сократим общий множитель.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Этап 14.7.3

Перепишем это выражение.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Этап 14.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.8.1

Выразим $\sec (t)$ через синусы и косинусы.

$g (y) = - \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Этап 14.8.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$g (y) = - \int 1 \cos (t) d t$

Этап 14.8.3

Умножим $\cos (t)$ на $1$ .

$g (y) = - \int \cos (t) d t$

Этап 14.9

Интеграл $\cos (t)$ по $t$ имеет вид $\sin (t)$ .

$g (y) = - (\sin (t) + C)$

Этап 14.10

Упростим.

$g (y) = - \sin (t) + C$

Этап 14.11

Заменим все вхождения $t$ на $\arctan (y)$ .

$g (y) = - \sin (\arctan (y)) + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \sin (\arctan (y)) + C$

Этап 16

Упростим $f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \sin (\arctan (y)) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, y)$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $\arctan (y)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, y)$ . Следовательно, $\sin (\arctan (y))$ равно $\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}} + C$

Этап 16.1.2

Умножим $\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}}}) + C$

Этап 16.1.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.3.1

Умножим $\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}} \sqrt{1 + y^{2}}} + C$

Этап 16.1.3.2

Возведем $\sqrt{1 + y^{2}}$ в степень $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{1} \sqrt{1 + y^{2}}} + C$

Этап 16.1.3.3

Возведем $\sqrt{1 + y^{2}}$ в степень $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + y^{2}}}^{1}} + C$

Этап 16.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{1 + 1}} + C$

Этап 16.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{2}} + C$

Этап 16.1.3.6

Перепишем ${\sqrt{1 + y^{2}}}^{2}$ в виде $1 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + y^{2}}$ в виде ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + C$

Этап 16.1.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + C$

Этап 16.1.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

Этап 16.1.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

Этап 16.1.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{1}} + C$

Этап 16.1.3.6.5

Упростим.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} + C$

Этап 16.2

Изменим порядок членов.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} + C$

Этап 16.3

Чтобы записать $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} + C$

Этап 16.4

Чтобы записать $- \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 16.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(y^{2} + 1) {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.1

Умножим $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (y^{2} + 1)} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 16.5.2

Умножим ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $y^{2} + 1$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.2.1

Умножим ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.2.1.1

Возведем $y^{2} + 1$ в степень $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{1}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 16.5.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 16.5.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 16.5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 16.5.2.4

Добавим $1$ и $2$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 16.5.3

Умножим $\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1}$ на $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{(y^{2} + 1) {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 16.5.4

Умножим $y^{2} + 1$ на ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.4.1

Умножим $y^{2} + 1$ на ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.4.1.1

Возведем $y^{2} + 1$ в степень $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{1} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 16.5.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}} + C$

Этап 16.5.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + C$

Этап 16.5.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}} + C$

Этап 16.5.4.4

Добавим $2$ и $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 16.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1) - y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 16.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.7.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + y^{2}}$ в виде ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1) - y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 16.7.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x \cdot 1 - y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 16.7.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 16.7.1.4

Умножим $- y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.7.1.4.1

Изменим порядок членов.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 16.7.1.4.2

Умножим ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.7.1.4.2.1

Перенесем ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y ({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 16.7.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 16.7.1.4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 16.7.1.4.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 16.7.1.4.2.5

Разделим $2$ на $2$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{1}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 16.7.1.4.3

Упростим $- y {(y^{2} + 1)}^{1}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 16.7.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y \cdot y^{2} - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 16.7.1.6

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.7.1.6.1

Перенесем $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - (y^{2} y) - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 16.7.1.6.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.7.1.6.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - (y^{2} y^{1}) - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 16.7.1.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y^{2 + 1} - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 16.7.1.6.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y^{3} - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 16.7.1.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y^{3} - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 16.7.1.8

Перепишем $x y^{2} + x - y^{3} - y$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.7.1.8.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.7.1.8.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f (x, y) = \frac{(x y^{2} + x) - y^{3} - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 16.7.1.8.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1) - y (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 16.7.1.8.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $y^{2} + 1$ .

$f (x, y) = \frac{(y^{2} + 1) (x - y)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 16.7.2

Перенесем ${(y^{2} + 1)}^{1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {(y^{2} + 1)}^{- 1}} + C$

Этап 16.7.3

Умножим ${(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ на ${(y^{2} + 1)}^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.7.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1}} + C$

Этап 16.7.3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} + C$

Этап 16.7.3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} + C$

Этап 16.7.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} + C$

Этап 16.7.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.7.3.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}}} + C$

Этап 16.7.3.5.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$