Математический анализ Примеры

$e^{x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x} y = 2$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $e^{x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x} y = 2$ на $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} + \frac{3 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2}{e^{x}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} + \frac{3 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2}{e^{x}}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2}{e^{x}}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2}{e^{x}}$

Этап 1.3.2

Разделим $3 y$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 3 y = \frac{2}{e^{x}}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 3 d x}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{3 x + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{3 x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} \frac{2}{e^{x}}$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} \frac{2}{e^{x}}$

Этап 3.3

Объединим $e^{3 x}$ и $\frac{2}{e^{x}}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = \frac{e^{3 x} \cdot 2}{e^{x}}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $e^{3 x}$ и $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{3 x} \cdot 2$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = \frac{e^{x} (e^{2 x} \cdot 2)}{e^{x}}$

Этап 3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим на $1$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = \frac{e^{x} (e^{2 x} \cdot 2)}{e^{x} \cdot 1}$

Этап 3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = \frac{e^{x} (e^{2 x} \cdot 2)}{e^{x} \cdot 1}$

Этап 3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = \frac{e^{2 x} \cdot 2}{1}$

Этап 3.4.2.4

Разделим $e^{2 x} \cdot 2$ на $1$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{2 x} \cdot 2$

Этап 3.5

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 \cdot e^{2 x}$

Этап 3.6

Изменим порядок множителей в $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{2 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 2 e^{2 x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 2 e^{2 x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 2 e^{2 x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{3 x} y = \int 2 e^{2 x} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{3 x} y = 2 \int e^{2 x} d x$

Этап 7.2

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 7.2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 7.2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 7.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{3 x} y = 2 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 7.3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{3 x} y = 2 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 7.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Этап 7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$e^{3 x} y = \frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Этап 7.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{3 x} y = \frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Этап 7.5.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{3 x} y = 1 \int e^{u} d u$

Этап 7.5.3

Умножим $\int e^{u} d u$ на $1$ .

$e^{3 x} y = \int e^{u} d u$

Этап 7.6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{3 x} y = e^{u} + C$

Этап 7.7

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$e^{3 x} y = e^{2 x} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{3 x} y = e^{2 x} + C$ на $e^{3 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{3 x} y = e^{2 x} + C$ на $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{e^{2 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{e^{2 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{e^{2 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ и $e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Вынесем множитель $e^{3 x}$ из $e^{2 x}$ .

$y = \frac{e^{3 x} e^{- x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 8.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{e^{3 x} e^{- x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 8.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{e^{3 x} e^{- x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 8.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 8.3.1.2.4

Разделим $e^{- x}$ на $1$ .

$y = e^{- x} + \frac{C}{e^{3 x}}$