Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{1 + x^{2}}$ , $y (1) = \frac{π}{2}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 2.3.3

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\arctan (x) + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

$y + C_{1} = 4 \arctan (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 4 \arctan (x) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $1$ вместо $x$ и $\frac{π}{2}$ вместо $y$ в $y = 4 \arctan (x) + K$ .

$\frac{π}{2} = 4 \arctan (1) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $4 \arctan (1) + K = \frac{π}{2}$ .

$4 \arctan (1) + K = \frac{π}{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$4 \frac{π}{4} + K = \frac{π}{2}$

Этап 4.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{π}{4} + K = \frac{π}{2}$

Этап 4.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$π + K = \frac{π}{2}$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $π$ из обеих частей уравнения.

$K = \frac{π}{2} - π$

Этап 4.3.2

Чтобы записать $- π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.3.3

Объединим $- π$ и $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Этап 4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$K = \frac{π - π \cdot 2}{2}$

Этап 4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$K = \frac{π - 2 π}{2}$

Этап 4.3.5.2

Вычтем $2 π$ из $π$ .

$K = \frac{- π}{2}$

Этап 4.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$K = - \frac{π}{2}$

Этап 5

Подставим $- \frac{π}{2}$ вместо $K$ в $y = 4 \arctan (x) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- \frac{π}{2}$ вместо $K$ .

$y = 4 \arctan (x) - \frac{π}{2}$