Математический анализ Примеры

$3 x v d v + (2 v^{2} - 1) d x = 0$

Этап 1

Вычтем $(2 v^{2} - 1) d x$ из обеих частей уравнения.

$3 x v d v = - (2 v^{2} - 1) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x (2 v^{2} - 1)}$ .

$\frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (3 x v) d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

Этап 3.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{x (2 v^{2} - 1)}$ .

$\frac{3}{x (2 v^{2} - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x v$ .

$\frac{3}{x (2 v^{2} - 1)} (x (v)) d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{x (2 v^{2} - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2 v^{2} - 1} v d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

Этап 3.4

Объединим $\frac{3}{2 v^{2} - 1}$ и $v$ .

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

Этап 3.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = - \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (2 v^{2} - 1) d x$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $2 v^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)}$ в числитель.

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = \frac{- 1}{x (2 v^{2} - 1)} (2 v^{2} - 1) d x$

Этап 3.6.2

Вынесем множитель $2 v^{2} - 1$ из $x (2 v^{2} - 1)$ .

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = \frac{- 1}{(2 v^{2} - 1) x} (2 v^{2} - 1) d x$

Этап 3.6.3

Сократим общий множитель.

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = \frac{- 1}{(2 v^{2} - 1) x} (2 v^{2} - 1) d x$

Этап 3.6.4

Перепишем это выражение.

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = \frac{- 1}{x} d x$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = - \frac{1}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $v$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{v}{2 v^{2} - 1} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.2

Пусть $u = 2 v^{2} - 1$ . Тогда $d u = 4 v d v$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = v d v$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Пусть $u = 2 v^{2} - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d v}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Дифференцируем $2 v^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d v} [2 v^{2} - 1]$

Этап 4.2.2.1.2

По правилу суммы производная $2 v^{2} - 1$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [2 v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [2 v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Этап 4.2.2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d v} [2 v^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $v$ , производная $2 v^{2}$ по $v$ равна $2 \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d v} [v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Этап 4.2.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 v) + \frac{d}{d v} [- 1]$

Этап 4.2.2.1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 v + \frac{d}{d v} [- 1]$

Этап 4.2.2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $v$ , производная $- 1$ относительно $v$ равна $0$ .

$4 v + 0$

Этап 4.2.2.1.4.2

Добавим $4 v$ и $0$ .

$4 v$

Этап 4.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{4}$ .

$3 \int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.3.2

Перенесем $4$ влево от $u$ .

$3 \int \frac{1}{4 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $3$ .

$\frac{3}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{3}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.7

Упростим.

$\frac{3}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.8

Заменим все вхождения $u$ на $2 v^{2} - 1$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 4.3.3

Упростим.

$\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - \ln (| x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} (\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |)) = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $\frac{4}{3} (\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Объединим $\frac{3}{4}$ и $\ln (| 2 v^{2} - 1 |)$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |)}{4} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2

Объединим.

$\frac{4 (3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |))}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |))}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |)}{3} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |)}{3} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.4.2

Разделим $\ln (| 2 v^{2} - 1 |)$ на $1$ .

$\ln (| 2 v^{2} - 1 |) = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $\frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 2 v^{2} - 1 |) = \frac{4}{3} (- \ln (| x |)) + \frac{4}{3} C$

Этап 5.2.2.1.2

Объединим $\frac{4}{3}$ и $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} + \frac{4}{3} C$

Этап 5.2.2.1.3

Объединим $\frac{4}{3}$ и $C$ .

$\ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} + \frac{4 C}{3}$

Этап 5.3

Каждый член в $\ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} + \frac{4 C}{3}$ умножим на $3$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим каждый член $\ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} + \frac{4 C}{3}$ на $3$ .

$\ln (| 2 v^{2} - 1 |) \cdot 3 = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Перенесем $3$ влево от $\ln (| 2 v^{2} - 1 |)$ .

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4 \ln (| x |)}{3}$ в числитель.

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = \frac{- 4 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Этап 5.3.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = \frac{- 4 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Этап 5.3.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - 4 \ln (| x |) + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - 4 \ln (| x |) + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Этап 5.3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - 4 \ln (| x |) + 4 C$

Этап 5.4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) + 4 \ln (| x |) = 4 C$

Этап 5.5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим $3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) + 4 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1.1

Упростим $3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\ln ({| 2 v^{2} - 1 |}^{3}) + 4 \ln (| x |) = 4 C$

Этап 5.5.1.1.2

Упростим $4 \ln (| x |)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\ln ({| 2 v^{2} - 1 |}^{3}) + \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

Этап 5.5.1.1.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{4}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln ({| 2 v^{2} - 1 |}^{3}) + \ln (x^{4}) = 4 C$

Этап 5.5.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| 2 v^{2} - 1 |}^{3} x^{4}) = 4 C$

Этап 5.5.1.3

Изменим порядок множителей в $\ln ({| 2 v^{2} - 1 |}^{3} x^{4})$ .

$\ln (x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3}) = 4 C$

Этап 5.6

Чтобы решить относительно $v$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3})} = e^{4 C}$

Этап 5.7

Перепишем $\ln (x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3}) = 4 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{4 C} = x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3}$

Этап 5.8

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Перепишем уравнение в виде $x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3} = e^{4 C}$ .

$x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3} = e^{4 C}$

Этап 5.8.2

Разделим каждый член $x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3} = e^{4 C}$ на $x^{4}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Разделим каждый член $x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3} = e^{4 C}$ на $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3}}{x^{4}} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Этап 5.8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3}}{x^{4}} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Этап 5.8.2.2.1.2

Разделим ${| 2 v^{2} - 1 |}^{3}$ на $1$ .

${| 2 v^{2} - 1 |}^{3} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Этап 5.8.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$| 2 v^{2} - 1 | = \sqrt[3]{\frac{e^{4 C}}{x^{4}}}$

Этап 5.8.4

Упростим $\sqrt[3]{\frac{e^{4 C}}{x^{4}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1

Перепишем $\frac{e^{4 C}}{x^{4}}$ в виде ${(\frac{1}{x})}^{3} \frac{e^{4 C}}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1.1

Вынесем полную степень $1^{3}$ из $e^{4 C}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{4 C}}{x^{4}}}$

Этап 5.8.4.1.2

Вынесем полную степень $x^{3}$ из $x^{4}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{4 C}}{x^{3} x}}$

Этап 5.8.4.1.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{3} e^{4 C}}{x^{3} x}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \sqrt[3]{{(\frac{1}{x})}^{3} \frac{e^{4 C}}{x}}$

Этап 5.8.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{1}{x} \sqrt[3]{\frac{e^{4 C}}{x}}$

Этап 5.8.4.3

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{e^{4 C}}{x}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{\sqrt[3]{x}}$

Этап 5.8.4.4

Объединим.

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{1 \sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}}$

Этап 5.8.4.5

Умножим $\sqrt[3]{e^{4 C}}$ на $1$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}}$

Этап 5.8.4.6

Умножим $\frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Этап 5.8.4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.7.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Этап 5.8.4.7.2

Перенесем $\sqrt[3]{x}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x (\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2})}$

Этап 5.8.4.7.3

Возведем $\sqrt[3]{x}$ в степень $1$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x ({\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2})}$

Этап 5.8.4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Этап 5.8.4.7.5

Добавим $1$ и $2$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Этап 5.8.4.7.6

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 5.8.4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 5.8.4.7.6.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.8.4.7.6.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.8.4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{1}}$

Этап 5.8.4.7.6.5

Упростим.

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x}$

Этап 5.8.4.8

Умножим $x$ на $x$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{2}}$

Этап 5.8.4.9

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} \sqrt[3]{x^{2}}}{x^{2}}$

Этап 5.8.4.10

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C} x^{2}}}{x^{2}}$

Этап 5.8.4.11

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[3]{e^{4 C} x^{2}}}{x^{2}}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}$

Этап 5.8.5

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$2 v^{2} - 1 = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}$

Этап 5.8.6

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 v^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1$

Этап 5.8.7

Разделим каждый член $2 v^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.7.1

Разделим каждый член $2 v^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1$ на $2$ .

$\frac{2 v^{2}}{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 5.8.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.7.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 v^{2}}{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 5.8.7.2.1.2

Разделим $v^{2}$ на $1$ .

$v^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 5.8.8

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2}}$

Этап 5.8.9

Упростим $\pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.9.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}{2}}$

Этап 5.8.9.2

Перепишем $\sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}}{\sqrt{2}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.8.9.3

Умножим $\frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.8.9.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.9.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 5.8.9.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 5.8.9.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 5.8.9.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 5.8.9.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 5.8.9.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.9.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.8.9.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.8.9.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.8.9.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.9.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.8.9.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 5.8.9.4.6.5

Найдем экспоненту.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.8.9.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$v = \pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1) \cdot 2}}{2}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$v = \pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{x^{2}} + 1) \cdot 2}}{2}$