Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{2} - 6}{x^{2}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{9 x^{2} - 6}{x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{9 x^{2} - 6}{x^{2}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{9 x^{2} - 6}{x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = \int (9 x^{2} - 6) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int (9 x^{2} - 6) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = \int (9 x^{2} - 6) x^{- 2} d x$

Этап 2.3.2

Умножим $(9 x^{2} - 6) x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} x^{- 2} - 6 x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Перенесем $x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = \int 9 (x^{- 2} x^{2}) - 6 x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y + C_{1} = \int 9 x^{- 2 + 2} - 6 x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.1.3

Добавим $- 2$ и $2$ .

$y + C_{1} = \int 9 x^{0} - 6 x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.2

Упростим $9 x^{0}$ .

$y + C_{1} = \int 9 - 6 x^{- 2} d x$

Этап 2.3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 9 d x + \int - 6 x^{- 2} d x$

Этап 2.3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = 9 x + C_{2} + \int - 6 x^{- 2} d x$

Этап 2.3.6

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 9 x + C_{2} - 6 \int x^{- 2} d x$

Этап 2.3.7

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 9 x + C_{2} - 6 (- x^{- 1} + C_{3})$

Этап 2.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Упростим.

$y + C_{1} = 9 x - 6 (- \frac{1}{x}) + C_{4}$

Этап 2.3.8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.2.1

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$y + C_{1} = 9 x + 6 \frac{1}{x} + C_{4}$

Этап 2.3.8.2.2

Объединим $6$ и $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{1} = 9 x + \frac{6}{x} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 9 x + \frac{6}{x} + K$