Математический анализ Примеры

$\frac{d t}{d u} = \frac{t u + u + 3 t + 3}{t u + 2 u - t - 2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{d t}{d u} = \frac{(t u + u) + 3 t + 3}{t u + 2 u - t - 2}$

Этап 1.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{d t}{d u} = \frac{u (t + 1) + 3 (t + 1)}{t u + 2 u - t - 2}$

Этап 1.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $t + 1$ .

$\frac{d t}{d u} = \frac{(t + 1) (u + 3)}{t u + 2 u - t - 2}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{d t}{d u} = \frac{(t + 1) (u + 3)}{(t u + 2 u) - t - 2}$

Этап 1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{d t}{d u} = \frac{(t + 1) (u + 3)}{u (t + 2) - (t + 2)}$

Этап 1.2.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $t + 2$ .

$\frac{d t}{d u} = \frac{(t + 1) (u + 3)}{(t + 2) (u - 1)}$

Этап 1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d t}{d u} = \frac{t + 1}{t + 2} \cdot \frac{u + 3}{u - 1}$

Этап 1.4

Умножим обе части на $\frac{t + 2}{t + 1}$ .

$\frac{t + 2}{t + 1} \frac{d t}{d u} = \frac{t + 2}{t + 1} (\frac{t + 1}{t + 2} \cdot \frac{u + 3}{u - 1})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{t + 1}{t + 2}$ на $\frac{u + 3}{u - 1}$ .

$\frac{t + 2}{t + 1} \frac{d t}{d u} = \frac{t + 2}{t + 1} \cdot \frac{(t + 1) (u + 3)}{(t + 2) (u - 1)}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $t + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t + 2}{t + 1} \frac{d t}{d u} = \frac{t + 2}{t + 1} \cdot \frac{(t + 1) (u + 3)}{(t + 2) (u - 1)}$

Этап 1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{t + 2}{t + 1} \frac{d t}{d u} = \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{(t + 1) (u + 3)}{u - 1}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $t + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t + 2}{t + 1} \frac{d t}{d u} = \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{(t + 1) (u + 3)}{u - 1}$

Этап 1.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{t + 2}{t + 1} \frac{d t}{d u} = \frac{u + 3}{u - 1}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{t + 2}{t + 1} d t = \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{t + 2}{t + 1} d t = \int \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим $t + 2$ на $t + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$t$

$1$

$t$

$2$

Этап 2.2.1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $t$ на член с максимальной степенью в делителе $t$ .

					$1$
	$t$	+	$1$		$t$	+	$2$

Этап 2.2.1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$2$
			+	$t$	+	$1$

Этап 2.2.1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $t + 1$ .

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$2$
			-	$t$	-	$1$

Этап 2.2.1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$2$
			-	$t$	-	$1$
					+	$1$

Этап 2.2.1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 1 + \frac{1}{t + 1} d t = \int \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d t + \int \frac{1}{t + 1} d t = \int \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Этап 2.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$t + C_{1} + \int \frac{1}{t + 1} d t = \int \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Этап 2.2.4

Пусть $u_{1} = t + 1$ . Тогда $d u_{1} = d t$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Пусть $u_{1} = t + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Дифференцируем $t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

Этап 2.2.4.1.2

По правилу суммы производная $t + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 2.2.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 2.2.4.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$t + C_{1} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$t + C_{1} + \ln (| u_{1} |) + C_{2} = \int \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Этап 2.2.6

Упростим.

$t + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $t + 1$ .

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = \int \frac{u + 3}{u - 1} d u$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим $u + 3$ на $u - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

$u$

$1$

$u$

$3$

Этап 2.3.1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $u$ на член с максимальной степенью в делителе $u$ .

					$1$
	$u$	-	$1$		$u$	+	$3$

Этап 2.3.1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$u$	-	$1$		$u$	+	$3$
			+	$u$	-	$1$

Этап 2.3.1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $u - 1$ .

				$1$
$u$	-	$1$		$u$	+	$3$
			-	$u$	+	$1$

Этап 2.3.1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$u$	-	$1$		$u$	+	$3$
			-	$u$	+	$1$
					+	$4$

Этап 2.3.1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = \int 1 + \frac{4}{u - 1} d u$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = \int d u + \int \frac{4}{u - 1} d u$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = u + C_{4} + \int \frac{4}{u - 1} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $4$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = u + C_{4} + 4 \int \frac{1}{u - 1} d u$

Этап 2.3.5

Пусть $u_{2} = u - 1$ . Тогда $d u_{2} = d u$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Пусть $u_{2} = u - 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Дифференцируем $u - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u - 1]$

Этап 2.3.5.1.2

По правилу суммы производная $u - 1$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 1]$

Этап 2.3.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u} [- 1]$

Этап 2.3.5.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $u$ , производная $- 1$ относительно $u$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = u + C_{4} + 4 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.6

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = u + C_{4} + 4 (\ln (| u_{2} |) + C_{5})$

Этап 2.3.7

Упростим.

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = u + 4 \ln (| u_{2} |) + C_{6}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $u - 1$ .

$t + \ln (| t + 1 |) + C_{3} = u + 4 \ln (| u - 1 |) + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$t + \ln (| t + 1 |) = u + 4 \ln (| u - 1 |) + C$