Математический анализ Примеры

$2 \frac{d y}{d x} - 10 x y - 5 x = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перенесем все члены без $\frac{d y}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Добавим $10 x y$ к обеим частям уравнения.

$2 \frac{d y}{d x} - 5 x = 10 x y$

Этап 1.1.1.2

Добавим $5 x$ к обеим частям уравнения.

$2 \frac{d y}{d x} = 10 x y + 5 x$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $2 \frac{d y}{d x} = 10 x y + 5 x$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $2 \frac{d y}{d x} = 10 x y + 5 x$ на $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{10 x y}{2} + \frac{5 x}{2}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{10 x y}{2} + \frac{5 x}{2}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{10 x y}{2} + \frac{5 x}{2}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Сократим общий множитель $10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $10 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (5 x y)}{2} + \frac{5 x}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (5 x y)}{2 (1)} + \frac{5 x}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (5 x y)}{2 \cdot 1} + \frac{5 x}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x y}{1} + \frac{5 x}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.2.4

Разделим $5 x y$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x y + \frac{5 x}{2}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x y + \frac{5 x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x (y) + \frac{5 x}{2}$

Этап 1.2.1.2

Вынесем множитель $5 x$ из $\frac{5 x}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x (y) + 5 x \frac{1}{2}$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x (y) + 5 x \frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x (y + \frac{1}{2})$

Этап 1.2.2

Чтобы записать $y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x (y \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Этап 1.2.3

Объединим $y$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x (\frac{y \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})$

Этап 1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = 5 x \frac{y \cdot 2 + 1}{2}$

Этап 1.2.5

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x \frac{2 y + 1}{2}$

Этап 1.2.6

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Объединим $5$ и $\frac{2 y + 1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{5 (2 y + 1)}{2}$

Этап 1.2.6.2

Объединим $x$ и $\frac{5 (2 y + 1)}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (5 (2 y + 1))}{2}$

Этап 1.2.7

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 5 (2 y + 1)}{2}$

Этап 1.2.8

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 \cdot x (2 y + 1)}{2}$

Этап 1.2.9

Умножим $5$ на $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x (2 y + 1)}{2}$

Этап 1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} (2 y + 1)$

Этап 1.4

Умножим обе части на $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} (\frac{5 x}{2} (2 y + 1))$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $2 y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $2 y + 1$ из $\frac{5 x}{2} (2 y + 1)$ .

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} ((2 y + 1) \frac{5 x}{2})$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} ((2 y + 1) \frac{5 x}{2})$

Этап 1.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{2 y + 1} d y = \frac{5 x}{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{2 y + 1} d y = \int \frac{5 x}{2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 2 y + 1$ . Тогда $d u = 2 d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 2 y + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $2 y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 2.2.1.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{5 x}{2} d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{5 x}{2} d x$

Этап 2.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{5 x}{2} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{5 x}{2} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{5 x}{2} d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{5 x}{2} d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $2 y + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{5 x}{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{5}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{5}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5}{2} \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $\frac{5}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Умножим $\frac{5}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5}{2 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5}{4} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) = \frac{5}{4} x^{2} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |)) = 2 (\frac{5}{4} x^{2} + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| 2 y + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y + 1 |)}{2} = 2 (\frac{5}{4} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\ln (| 2 y + 1 |)}{2} = 2 (\frac{5}{4} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 (\frac{5}{4} x^{2} + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (\frac{5}{4} x^{2} + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{5}{4}$ и $x^{2}$ .

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 (\frac{5 x^{2}}{4} + C)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 \frac{5 x^{2}}{4} + 2 C$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 \frac{5 x^{2}}{2 (2)} + 2 C$

Этап 3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 \frac{5 x^{2}}{2 \cdot 2} + 2 C$

Этап 3.2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{5 x^{2}}{2} + 2 C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 2 y + 1 |)} = e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{5 x^{2}}{2} + 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C} = | 2 y + 1 |$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $| 2 y + 1 | = e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C}$ .

$| 2 y + 1 | = e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C}$

Этап 3.5.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$2 y + 1 = \pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C}$

Этап 3.5.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 y = \pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C} - 1$

Этап 3.5.4

Разделим каждый член $2 y = \pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C} - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Разделим каждый член $2 y = \pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C} - 1$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 3.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 3.5.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 3.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1.1.1

Чтобы записать $2 C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C \cdot \frac{2}{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 3.5.4.3.1.1.2

Объединим $2 C$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + \frac{2 C \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 3.5.4.3.1.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2} + 2 C \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 3.5.4.3.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2} + 4 C}{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 3.5.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2} + 4 C}{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 3.5.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2} + 4 C}{2}} - 1}{2}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2} + C}{2}} - 1}{2}$