Математический анализ Примеры

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + y = \ln (t)$

Этап 1

Проверим, является ли левая часть уравнения результатом дифференцирования члена $(t + 1) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t + 1$ и $g (t) = y$ .

$(t + 1) \frac{d}{d t} [y] + y \frac{d}{d t} [t + 1]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{d}{d t} [y]$ в виде $y'$ .

$(t + 1) y' + y \frac{d}{d t} [t + 1]$

Этап 1.3

По правилу суммы производная $t + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$(t + 1) y' + y (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(t + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d t} [1])$

Этап 1.5

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$(t + 1) y' + y (1 + 0)$

Этап 1.6

Добавим $1$ и $0$ .

$(t + 1) y' + y \cdot 1$

Этап 1.7

Подставим $\frac{d y}{d t}$ вместо $y'$ .

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + y \cdot 1$

Этап 1.8

Изменим порядок $y$ и $1$ .

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + 1 \cdot y$

Этап 1.9

Умножим $y$ на $1$ .

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + y$

Этап 2

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [(t + 1) y] = \ln (t)$

Этап 3

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [(t + 1) y] d t = \int \ln (t) d t$

Этап 4

Проинтегрируем левую часть.

$(t + 1) y = \int \ln (t) d t$

Этап 5

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (t)$ и $d v = 1$ .

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int t \frac{1}{t} d t$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $t$ и $\frac{1}{t}$ .

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t$

Этап 5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int d t$

Этап 5.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$(t + 1) y = \ln (t) t - (t + C)$

Этап 5.4

Упростим.

$(t + 1) y = \ln (t) t - t + C$

Этап 6

Разделим каждый член $(t + 1) y = \ln (t) t - t + C$ на $t + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $(t + 1) y = \ln (t) t - t + C$ на $t + 1$ .

$\frac{(t + 1) y}{t + 1} = \frac{\ln (t) t}{t + 1} + \frac{- t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $t + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(t + 1) y}{t + 1} = \frac{\ln (t) t}{t + 1} + \frac{- t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (t) t}{t + 1} + \frac{- t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{\ln (t) t}{t + 1} - \frac{t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

Этап 6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\ln (t) t - t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

Этап 6.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\ln (t) t - t + C}{t + 1}$

Этап 6.3.4

Изменим порядок множителей в $\ln (t) t - t + C$ .

$y = \frac{t \ln (t) - t + C}{t + 1}$