Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1

Проверим, является ли левая часть уравнения результатом дифференцирования члена $x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Этап 1.4

Подставим $\frac{d y}{d x}$ вместо $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Этап 1.5

Изменим порядок $y$ и $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Этап 1.6

Умножим $y$ на $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Этап 2

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 3

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем левую часть.

$x y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$x y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 5.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x y = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 5.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x y = \int x^{- 2} d x$

Этап 5.2

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$x y = - x^{- 1} + C$

Этап 5.3

Перепишем $- x^{- 1} + C$ в виде $- \frac{1}{x} + C$ .

$x y = - \frac{1}{x} + C$

Этап 6

Разделим каждый член $x y = - \frac{1}{x} + C$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $x y = - \frac{1}{x} + C$ на $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 6.3.1.2

Умножим $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$y = - \frac{1}{x \cdot x} + \frac{C}{x}$

Этап 6.3.1.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{1} x} + \frac{C}{x}$

Этап 6.3.1.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{1} x^{1}} + \frac{C}{x}$

Этап 6.3.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = - \frac{1}{x^{1 + 1}} + \frac{C}{x}$

Этап 6.3.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x}$